MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssdm 7195
Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssdm (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppval 7184 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2 ssrab2 3650 . . 3 {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
31, 2syl6eqss 3618 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4 supp0prc 7185 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5 0ss 3924 . . 3 ∅ ⊆ dom 𝐹
64, 5syl6eqss 3618 . 2 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
73, 6pm2.61i 175 1 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383  wcel 1977  wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  dom cdm 5038  cima 5041  (class class class)co 6549   supp csupp 7182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183
This theorem is referenced by:  snopsuppss  7197  wemapso2lem  8340  cantnfcl  8447  cantnfle  8451  cantnflt  8452  cantnff  8454  cantnfres  8457  cantnfp1lem2  8459  cantnfp1lem3  8460  cantnflem1b  8466  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469  cantnflem3  8471  cnfcomlem  8479  cnfcom  8480  cnfcom2lem  8481  cnfcom3lem  8483  cnfcom3  8484  fsuppmapnn0fiublem  12651  fsuppmapnn0fiub  12652  fsuppmapnn0fiubOLD  12653  gsumval3lem1  18129  gsumval3lem2  18130  gsumval3  18131  gsumzres  18133  gsumzcl2  18134  gsumzf1o  18136  gsumzaddlem  18144  gsumconst  18157  gsumzoppg  18167  gsum2d  18194  dpjidcl  18280  psrass1lem  19198  psrass1  19226  psrass23l  19229  psrcom  19230  psrass23  19231  mplcoe1  19286  psropprmul  19429  coe1mul2  19460  gsumfsum  19632  regsumsupp  19787  frlmlbs  19955  tsmsgsum  21752  rrxcph  22988  rrxsuppss  22994  rrxmval  22996  mdegfval  23626  mdegleb  23628  mdegldg  23630  deg1mul3le  23680  wilthlem3  24596  fdivmpt  42132  fdivmptf  42133  refdivmptf  42134  fdivpm  42135  refdivpm  42136
  Copyright terms: Public domain W3C validator