Theorem nn0ssre 11173

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11170	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 10901	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 9919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4280	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3750	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3598	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  nn0sscn  11174  nn0re  11178  nn0rei  11180  nn0red  11229  ssnn0fi  12646  fsuppmapnn0fiublem  12651  fsuppmapnn0fiub  12652  fsuppmapnn0fiubOLD  12653  hashxrcl  13010  ramtlecl  15542  ramcl2lem  15551  ramxrcl  15559  0ram2  15563  0ramcl  15565  mdegleb  23628  mdeglt  23629  mdegldg  23630  mdegxrcl  23631  mdegcl  23633  mdegaddle  23638  mdegmullem  23642  deg1mul3le  23680  plyeq0lem  23770  dgrval  23788  dgrcl  23793  dgrub  23794  dgrlb  23796  aannenlem2  23888  taylfval  23917  tgcgr4  25226  motcgrg  25239  xrsmulgzz  29009  nn0omnd  29172  nn0archi  29174  esumcst  29452  oddpwdc  29743  lermxnn0  36535  hbtlem2  36713  ssnn0ssfz  41920