Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgrg 25239
 Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
motcgrg.r = (cgrG‘𝐺)
motcgrg.t (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
motcgrg.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgrg (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motcgrg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
3 simprl 790 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇))
4 ismot.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ismot.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (dist‘𝐺)
6 motgrp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑉)
7 motcgrg.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
84, 5, 6, 7motf1o 25233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑃1-1-onto𝑃)
9 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃𝐹:𝑃𝑃)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑃𝑃)
1110ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐹:𝑃𝑃)
12 fco 5971 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑃𝑃𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1311, 1, 12syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃)
15 fdm 5964 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑇):(0..^𝑛)⟶𝑃 → dom (𝐹𝑇) = (0..^𝑛))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → dom (𝐹𝑇) = (0..^𝑛))
173, 16eleqtrd 2690 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑎 ∈ (0..^𝑛))
18 fvco3 6185 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑎 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
192, 17, 18syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑎) = (𝐹‘(𝑇𝑎)))
20 simprr 792 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))
2120, 16eleqtrd 2690 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝑏 ∈ (0..^𝑛))
22 fvco3 6185 . . . . . . 7 ((𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃𝑏 ∈ (0..^𝑛)) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
232, 21, 22syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘𝑏) = (𝐹‘(𝑇𝑏)))
2419, 23oveq12d 6567 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))))
256ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → 𝐺𝑉)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐺𝑉)
272, 17ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑎) ∈ 𝑃)
282, 21ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (𝑇𝑏) ∈ 𝑃)
297ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
304, 5, 26, 27, 28, 29motcgr 25231 . . . . 5 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → ((𝐹‘(𝑇𝑎)) (𝐹‘(𝑇𝑏))) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3124, 30eqtrd 2644 . . . 4 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) ∧ (𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇) ∧ 𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇))) → (((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
3231ralrimivva 2954 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏)))
33 motcgrg.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
34 fzo0ssnn0 12415 . . . . . 6 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
35 nn0ssre 11173 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
3634, 35sstri 3577 . . . . 5 (0..^𝑛) ⊆ ℝ
3736a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (0..^𝑛) ⊆ ℝ)
384, 5, 33, 25, 37, 13, 1iscgrgd 25208 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → ((𝐹𝑇) 𝑇 ↔ ∀𝑎 ∈ dom (𝐹𝑇)∀𝑏 ∈ dom (𝐹𝑇)(((𝐹𝑇)‘𝑎) ((𝐹𝑇)‘𝑏)) = ((𝑇𝑎) (𝑇𝑏))))
3932, 38mpbird 246 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃) → (𝐹𝑇) 𝑇)
40 motcgrg.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝑃)
41 iswrd 13162 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4240, 41sylib 207 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑇:(0..^𝑛)⟶𝑃)
4339, 42r19.29a 3060 1 (𝜑 → (𝐹𝑇) 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  Word cword 13146  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  distcds 15777  cgrGccgrg 25205  Ismtcismt 25227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-word 13154  df-cgrg 25206  df-ismt 25228 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator