MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Unicode version

Theorem nn0ssre 10686
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre  |-  NN0  C_  RR

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 10683 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnssre 10429 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 0re 9489 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 snssi 4117 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  { 0 }  C_  RR
62, 5unssi 3631 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  C_  RR
71, 6eqsstri 3486 1  |-  NN0  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758    u. cun 3426    C_ wss 3428   {csn 3977   RRcr 9384   0cc0 9385   NNcn 10425   NN0cn0 10682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-nn 10426  df-n0 10683
This theorem is referenced by:  nn0sscn  10687  nn0re  10691  nn0rei  10693  nn0red  10740  hashxrcl  12230  ramtlecl  14165  ramcl2lem  14174  ramxrcl  14182  0ram2  14186  0ramcl  14188  mdegleb  21653  mdeglt  21654  mdegldg  21655  mdegxrcl  21656  mdegcl  21658  mdegaddle  21663  mdegmullem  21667  deg1mul3le  21706  plyeq0lem  21796  dgrval  21814  dgrcl  21819  dgrub  21820  dgrlb  21822  aannenlem2  21913  taylfval  21942  xrsmulgzz  26275  nn0omnd  26445  nn0archi  26447  esumcst  26650  oddpwdc  26873  lermxnn0  29433  hbtlem2  29620  ssnn0ssfz  30881  ssnn0fi  30886  fsuppmapnn0fiublem  30938  fsuppmapnn0fiub  30939
  Copyright terms: Public domain W3C validator