MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Unicode version

Theorem nn0ssre 10795
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre  |-  NN0  C_  RR

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 10792 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnssre 10536 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 0re 9592 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 snssi 4171 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  { 0 }  C_  RR
62, 5unssi 3679 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  C_  RR
71, 6eqsstri 3534 1  |-  NN0  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   RRcr 9487   0cc0 9488   NNcn 10532   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  nn0sscn  10796  nn0re  10800  nn0rei  10802  nn0red  10849  ssnn0fi  12058  fsuppmapnn0fiublem  12060  fsuppmapnn0fiub  12061  hashxrcl  12393  ramtlecl  14373  ramcl2lem  14382  ramxrcl  14390  0ram2  14394  0ramcl  14396  mdegleb  22199  mdeglt  22200  mdegldg  22201  mdegxrcl  22202  mdegcl  22204  mdegaddle  22209  mdegmullem  22213  deg1mul3le  22252  plyeq0lem  22342  dgrval  22360  dgrcl  22365  dgrub  22366  dgrlb  22368  aannenlem2  22459  taylfval  22488  motcgrg  23659  xrsmulgzz  27328  nn0omnd  27494  nn0archi  27496  esumcst  27711  oddpwdc  27933  lermxnn0  30492  hbtlem2  30677  ssnn0ssfz  32002
  Copyright terms: Public domain W3C validator