MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Unicode version

Theorem nn0ssre 10806
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre  |-  NN0  C_  RR

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 10803 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
2 nnssre 10547 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 0re 9599 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 snssi 4159 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  { 0 }  C_  RR
62, 5unssi 3664 . 2  |-  ( NN  u.  { 0 } )  C_  RR
71, 6eqsstri 3519 1  |-  NN0  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4014   RRcr 9494   0cc0 9495   NNcn 10543   NN0cn0 10802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-nn 10544  df-n0 10803
This theorem is referenced by:  nn0sscn  10807  nn0re  10811  nn0rei  10813  nn0red  10860  ssnn0fi  12076  fsuppmapnn0fiublem  12078  fsuppmapnn0fiub  12079  hashxrcl  12411  ramtlecl  14500  ramcl2lem  14509  ramxrcl  14517  0ram2  14521  0ramcl  14523  mdegleb  22442  mdeglt  22443  mdegldg  22444  mdegxrcl  22445  mdegcl  22447  mdegaddle  22452  mdegmullem  22456  deg1mul3le  22495  plyeq0lem  22585  dgrval  22603  dgrcl  22608  dgrub  22609  dgrlb  22611  aannenlem2  22703  taylfval  22732  motcgrg  23909  xrsmulgzz  27644  nn0omnd  27809  nn0archi  27811  esumcst  28049  oddpwdc  28271  lermxnn0  30864  hbtlem2  31049  ssnn0ssfz  32806
  Copyright terms: Public domain W3C validator