Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ramcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ramcl 15565
 Description: Lemma for ramcl 15571: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ramcl ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem 0ramcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑅⟶ℕ0𝐹 Fn 𝑅)
2 dffn4 6034 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑅𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
31, 2sylib 207 . . . . . . 7 (𝐹:𝑅⟶ℕ0𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
43ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
5 foeq2 6025 . . . . . . 7 (𝑅 = ∅ → (𝐹:𝑅onto→ran 𝐹𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
65adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝐹:𝑅onto→ran 𝐹𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
74, 6mpbid 221 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:∅–onto→ran 𝐹)
8 fo00 6084 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ ran 𝐹 = ∅))
98simplbi 475 . . . . 5 (𝐹:∅–onto→ran 𝐹𝐹 = ∅)
107, 9syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹 = ∅)
1110oveq2d 6565 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey ∅))
12 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
13 ram0 15564 . . . . 5 (0 ∈ ℕ0 → (0 Ramsey ∅) = 0)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (0 Ramsey ∅) = 0
1514, 12eqeltri 2684 . . 3 (0 Ramsey ∅) ∈ ℕ0
1611, 15syl6eqel 2696 . 2 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17 0ram2 15563 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18 frn 5966 . . . . . . 7 (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
19183ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
20 nn0ssz 11275 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2119, 20syl6ss 3580 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
22 fdm 5964 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
23223ad2ant3 1077 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
24 simp2 1055 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
2523, 24eqnetrd 2849 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
26 dm0rn0 5263 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
2726necon3bii 2834 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
2825, 27sylib 207 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
29 nn0ssre 11173 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
3019, 29syl6ss 3580 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
31 simp1 1054 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
3233ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅onto→ran 𝐹)
33 fofi 8135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
35 fimaxre 10847 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥)
3630, 34, 28, 35syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥)
37 ssrexv 3630 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥))
3821, 36, 37sylc 63 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥)
39 suprzcl2 11654 . . . . . . 7 ((ran 𝐹 ⊆ ℤ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦𝑥) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4021, 28, 38, 39syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4119, 40sseldd 3569 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
4217, 41eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
43423expa 1257 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
4443an32s 842 . 2 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
4516, 44pm2.61dane 2869 1 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   Ramsey cram 15541 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-ram 15543 This theorem is referenced by:  ramcl  15571
 Copyright terms: Public domain W3C validator