Theorem ramtlecl 15542

Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramtlecl.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ramtlecl	⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (#‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
2	1	imbi1d 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
3	2	albidv 1836	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
4		ramtlecl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)}
5	3, 4	elrab2 3333	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
6	5	simplbi 475	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7		eluznn0 11633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8	7	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	8	ssrdv 3574	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	5	simprbi 479	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
12		eluzle 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑛)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑛)
14		nn0ssre 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
15		ressxr 9962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
16	14, 15	sstri 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
17	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
18	16, 17	sseldi 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
19	6, 7	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	16, 19	sseldi 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21		vex 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑠 ∈ V
22		hashxrcl 13010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ V → (#‘𝑠) ∈ ℝ*)
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (#‘𝑠) ∈ ℝ*)
24		xrletr 11865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ (#‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (#‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
25	18, 20, 23, 24	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (#‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
26	13, 25	mpand 707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
27	26	imim1d 80	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
28	27	ralrimdva 2952	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ((𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
29	28	alimdv 1832	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
30	11, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
31		ralcom4 3197	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
32	30, 31	sylibr 223	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
33		ssrab 3643	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
34	10, 32, 33	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)})
35	34, 4	syl6sseqr 3615	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980

This theorem is referenced by: (None)