Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtlecl 15542
 Description: The set 𝑇 of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
ramtlecl (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑀   𝜑,𝑛   𝑇,𝑛,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≤ (#‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
21imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
32albidv 1836 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
4 ramtlecl.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)}
53, 4elrab2 3333 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
65simplbi 475 . . . 4 (𝑀𝑇𝑀 ∈ ℕ0)
7 eluznn0 11633 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
87ex 449 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℕ0))
98ssrdv 3574 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
106, 9syl 17 . . 3 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ ℕ0)
115simprbi 479 . . . . 5 (𝑀𝑇 → ∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
12 eluzle 11576 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑛)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑛)
14 nn0ssre 11173 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ
15 ressxr 9962 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
1614, 15sstri 3577 . . . . . . . . . . 11 0 ⊆ ℝ*
176adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1816, 17sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
196, 7sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2016, 19sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
21 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
22 hashxrcl 13010 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ V → (#‘𝑠) ∈ ℝ*)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (#‘𝑠) ∈ ℝ*)
24 xrletr 11865 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ (#‘𝑠) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (#‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀𝑛𝑛 ≤ (#‘𝑠)) → 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
2613, 25mpand 707 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝑀 ≤ (#‘𝑠)))
2726imim1d 80 . . . . . . 7 ((𝑀𝑇𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) → (𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
2827ralrimdva 2952 . . . . . 6 (𝑀𝑇 → ((𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
2928alimdv 1832 . . . . 5 (𝑀𝑇 → (∀𝑠(𝑀 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
3011, 29mpd 15 . . . 4 (𝑀𝑇 → ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
31 ralcom4 3197 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑) ↔ ∀𝑠𝑛 ∈ (ℤ𝑀)(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
3230, 31sylibr 223 . . 3 (𝑀𝑇 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑))
33 ssrab 3643 . . 3 ((ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)} ↔ ((ℤ𝑀) ⊆ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)))
3410, 32, 33sylanbrc 695 . 2 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → 𝜑)})
3534, 4syl6sseqr 3615 1 (𝑀𝑇 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator