MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Unicode version

Theorem ramtlecl 14376
Description: The set  T of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ramtlecl  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Distinct variable groups:    n, s, M    ph, n    T, n, s
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  <->  M  <_  ( # `  s ) ) )
21imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
32albidv 1689 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  <->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
4 ramtlecl.t . . . . . 6  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
53, 4elrab2 3263 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN0  /\  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
65simplbi 460 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  M  e.  NN0 )
7 eluznn0 11150 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
87ex 434 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3510 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  NN0 )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 )
115simprbi 464 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
12 eluzle 11093 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  n )
1312adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  <_  n )
14 nn0ssre 10798 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR
15 ressxr 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
1614, 15sstri 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  RR*
176adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
1816, 17sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  RR* )
196, 7sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
2016, 19sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  RR* )
21 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
22 hashxrcl 12396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  _V  ->  ( # `
 s )  e. 
RR* )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( # `  s )  e.  RR* )
24 xrletr 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  ( # `  s )  e.  RR* )  ->  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `  s
) )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `
 s ) )  ->  M  <_  ( # `
 s ) ) )
2613, 25mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2726imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
2827ralrimdva 2882 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  ->  (
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
2928alimdv 1685 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  ( A. s ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
3011, 29mpd 15 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) )
31 ralcom4 3132 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  A. s A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
3230, 31sylibr 212 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) )
33 ssrab 3578 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) }  <->  ( ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 
/\  A. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
3410, 32, 33sylanbrc 664 . 2  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) } )
3534, 4syl6sseqr 3551 1  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5587   RRcr 9490   RR*cxr 9626    <_ cle 9628   NN0cn0 10794   ZZ>=cuz 11081   #chash 12372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-hash 12373
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator