MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtlecl Structured version   Unicode version

Theorem ramtlecl 14903
Description: The set  T of numbers with the Ramsey number property is upward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramtlecl.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ramtlecl  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Distinct variable groups:    n, s, M    ph, n    T, n, s
Allowed substitution hint:    ph( s)

Proof of Theorem ramtlecl
StepHypRef Expression
1 breq1 4420 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  <->  M  <_  ( # `  s ) ) )
21imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
32albidv 1757 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  <->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
4 ramtlecl.t . . . . . 6  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) }
53, 4elrab2 3228 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN0  /\  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
65simplbi 461 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  M  e.  NN0 )
7 eluznn0 11217 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
87ex 435 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3467 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ZZ>= `  M )  C_  NN0 )
106, 9syl 17 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 )
115simprbi 465 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  A. s
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
12 eluzle 11160 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  n )
1312adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  <_  n )
14 nn0ssre 10862 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR
15 ressxr 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
1614, 15sstri 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  RR*
176adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
1816, 17sseldi 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  M  e.  RR* )
196, 7sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  NN0 )
2016, 19sseldi 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  n  e.  RR* )
21 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
22 hashxrcl 12525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  _V  ->  ( # `
 s )  e. 
RR* )
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( # `  s )  e.  RR* )
24 xrletr 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  ( # `  s )  e.  RR* )  ->  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `  s
) )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_  n  /\  n  <_  ( # `
 s ) )  ->  M  <_  ( # `
 s ) ) )
2613, 25mpand 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  M  <_  ( # `  s
) ) )
2726imim1d 78 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  T  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
2827ralrimdva 2841 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  ->  (
( M  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) ) )
2928alimdv 1753 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  ( A. s ( M  <_ 
( # `  s )  ->  ph )  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) ) )
3011, 29mpd 15 . . . 4  |-  ( M  e.  T  ->  A. s A. n  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( n  <_  ( # `  s
)  ->  ph ) )
31 ralcom4 3097 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph )  <->  A. s A. n  e.  ( ZZ>= `  M )
( n  <_  ( # `
 s )  ->  ph ) )
3230, 31sylibr 215 . . 3  |-  ( M  e.  T  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) )
33 ssrab 3536 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) }  <->  ( ( ZZ>=
`  M )  C_  NN0 
/\  A. n  e.  (
ZZ>= `  M ) A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) ) )
3410, 32, 33sylanbrc 668 . 2  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  ph ) } )
3534, 4syl6sseqr 3508 1  |-  ( M  e.  T  ->  ( ZZ>=
`  M )  C_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   RRcr 9527   RR*cxr 9663    <_ cle 9665   NN0cn0 10858   ZZ>=cuz 11148   #chash 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-hash 12502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator