MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegldg 23630
Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdegldg.y 𝑌 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 23627 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
92, 3mplrcl 19311 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
1093ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐼 ∈ V)
115, 6tdeglem1 23622 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1312ffund 5962 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → Fun 𝐻)
14 simp2 1055 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝐵)
15 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
162, 3, 4, 14, 15mplelsfi 19312 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
1716fsuppimpd 8165 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
18 imafi 8142 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1913, 17, 18syl2anc 691 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
20 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝑌)
21 mdegldg.y . . . . . . . 8 𝑌 = (0g𝑃)
22 ringgrp 18375 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23223ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
242, 5, 4, 21, 10, 23mpl0 19262 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
2520, 24neeqtrd 2851 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
26 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
272, 26, 3, 5, 14mplelf 19254 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
2827ffnd 5959 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
29 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
304, 29eqeltri 2684 . . . . . . . 8 0 ∈ V
31 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
325, 31rabex2 4742 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
33 fnsuppeq0 7210 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3432, 33mp3an2 1404 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3528, 30, 34sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3635necon3bid 2826 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
3725, 36mpbird 246 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
3812ffnd 5959 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
39 suppssdm 7195 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
40 fdm 5964 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅) → dom 𝐹 = 𝐴)
4127, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → dom 𝐹 = 𝐴)
4239, 41syl5sseq 3616 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
43 fnimaeq0 5926 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4438, 42, 43syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4544necon3bid 2826 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
4637, 45mpbird 246 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
47 imassrn 5396 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
48 frn 5966 . . . . . . 7 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
4912, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
5047, 49syl5ss 3579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
51 nn0ssre 11173 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
52 ressxr 9962 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5351, 52sstri 3577 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
5450, 53syl6ss 3580 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
55 xrltso 11850 . . . . 5 < Or ℝ*
56 fisupcl 8258 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5755, 56mpan 702 . . . 4 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5819, 46, 54, 57syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
598, 58eqeltrd 2688 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
60 fvelimab 6163 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
6138, 42, 60syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
62 rexsupp 7200 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6332, 30, 62mp3an23 1408 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6428, 63syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6561, 64bitrd 267 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6659, 65mpbid 221 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  cmpt 4643   Or wor 4958   × cxp 5036  ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  supcsup 8229  cr 9814  *cxr 9952   < clt 9953  cn 10897  0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370   mPoly cmpl 19174  fldccnfld 19567   mDeg cmdg 23617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619
This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  23635  deg1ldg  23656
  Copyright terms: Public domain W3C validator