Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeglt 23629
 Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdeglt.f (𝜑𝐹𝐵)
medglt.x (𝜑𝑋𝐴)
mdeglt.lt (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   ,𝐼,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑋(,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
2 medglt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐴)
3 mdeglt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
4 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
5 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
8 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
104, 5, 6, 7, 8, 9mdegval 23627 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
113, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12 imassrn 5396 . . . . . . . 8 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
135, 6mplrcl 19311 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
148, 9tdeglem1 23622 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
15 frn 5966 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
163, 13, 14, 154syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
17 nn0ssre 11173 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
18 ressxr 9962 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3577 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
2016, 19syl6ss 3580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2112, 20syl5ss 3579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
22 supxrcl 12017 . . . . . . 7 ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2411, 23eqeltrd 2688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
25 xrleid 11859 . . . . 5 ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
274, 5, 6, 7, 8, 9mdegleb 23628 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
283, 24, 27syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
2926, 28mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
30 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
3130breq2d 4595 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) ↔ (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋)))
32 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
3332eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑋) = 0 ))
3431, 33imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 )))
3534rspcva 3280 . . 3 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )) → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 ))
362, 29, 35syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 ))
371, 36mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924   mPoly cmpl 19174  ℂfldccnfld 19567   mDeg cmdg 23617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619 This theorem is referenced by:  mdegaddle  23638  mdegvscale  23639  mdegmullem  23642
 Copyright terms: Public domain W3C validator