Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssr 7213
 Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssr.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
suppssr.n (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
suppssr.a (𝜑𝐴𝑉)
suppssr.z (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
suppssr ((𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem suppssr
StepHypRef Expression
1 eldif 3550 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑊))
2 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐹𝑋) ∈ V
3 eldifsn 4260 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ V ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍))
42, 3mpbiran 955 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)
5 suppssr.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
8 suppssr.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
9 suppssr.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑈)
10 elsuppfn 7190 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑈) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
12 ibar 524 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑋) ∈ V → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) ∈ V ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
132, 12mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) ∈ V ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
1413, 3syl6bbr 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})))
1514pm5.32da 671 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
1611, 15bitrd 267 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
17 suppssr.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
1817sseld 3567 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑋𝑊))
1916, 18sylbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑋𝑊))
2019expdimp 452 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑋𝑊))
214, 20syl5bir 232 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍𝑋𝑊))
2221necon1bd 2800 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → (¬ 𝑋𝑊 → (𝐹𝑋) = 𝑍))
2322impr 647 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑍)
241, 23sylan2b 491 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183 This theorem is referenced by:  fsuppmptif  8188  fsuppco2  8191  fsuppcor  8192  cantnfp1lem1  8458  cantnfp1lem3  8460  cantnflem1  8469  cnfcom2lem  8481  gsumval3  18131  gsumcllem  18132  gsumzaddlem  18144  gsumzmhm  18160  gsumpt  18184  gsum2dlem1  18192  gsum2dlem2  18193  gsum2d  18194  dprdfinv  18241  dprdfadd  18242  dmdprdsplitlem  18259  dpjidcl  18280  gsumdixp  18432  lcomfsupp  18726  psrbaglesupp  19189  psrbagaddcl  19191  psrbaglefi  19193  mplsubglem  19255  mpllsslem  19256  mplsubrglem  19260  mplmonmul  19285  mplcoe1  19286  mplcoe5  19289  mplbas2  19291  evlslem4  19329  evlslem2  19333  uvcresum  19951  frlmsslsp  19954  rrxcph  22988  rrxmval  22996  rrxmetlem  22998  rrxmet  22999  rrxdstprj1  23000  deg1mul3le  23680  eulerpartlemb  29757
 Copyright terms: Public domain W3C validator