Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmullt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ornglmullt 29138
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t · = (.r𝑅)
ornglmullt.0 0 = (0g𝑅)
ornglmullt.1 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (𝜑𝑋𝐵)
ornglmullt.3 (𝜑𝑌𝐵)
ornglmullt.4 (𝜑𝑍𝐵)
ornglmullt.l < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (𝜑𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6 (𝜑0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmullt (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ornglmullt.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 ornglmullt.1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 ornglmullt.3 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 ornglmullt.4 . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
8 eqid 2610 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (𝜑𝑋 < 𝑌)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (lt‘𝑅)
118, 10pltle 16784 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝑅)𝑌))
1211imp 444 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1321 . . 3 (𝜑𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14 orngring 29131 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 18375 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 17273 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑0𝐵)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (𝜑0 < 𝑍)
208, 10pltle 16784 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) → ( 0 < 𝑍0 (le‘𝑅)𝑍))
2120imp 444 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1321 . . 3 (𝜑0 (le‘𝑅)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22ornglmulle 29136 . 2 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌))
24 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
2524oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
26 ornglmullt.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 16785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) → ( 0 < 𝑍0𝑍))
2827imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0𝑍)
3029necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍0 )
31 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
321, 31, 3drngunit 18575 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍𝐵𝑍0 )))
3332biimpar 501 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍𝐵𝑍0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
3426, 7, 30, 33syl12anc 1316 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (invr𝑅) = (invr𝑅)
36 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3731, 35, 2, 36unitlinv 18500 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r𝑅))
3815, 34, 37syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r𝑅))
3938oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
4031, 35, 1ringinvcl 18499 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
4115, 34, 40syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
421, 2ringass 18387 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → ((((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
4315, 41, 7, 5, 42syl13anc 1320 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
441, 2, 36ringlidm 18394 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
4515, 5, 44syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
4639, 43, 453eqtr3d 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
4746adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
4838oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r𝑅) · 𝑌))
491, 2ringass 18387 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
5015, 41, 7, 6, 49syl13anc 1320 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
511, 2, 36ringlidm 18394 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
5215, 6, 51syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
5348, 50, 523eqtr3d 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
5453adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
5525, 47, 543eqtr3d 2652 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
5610pltne 16785 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
5756imp 444 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
584, 5, 6, 9, 57syl31anc 1321 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
5958adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋𝑌)
6059neneqd 2787 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
6155, 60pm2.65da 598 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
6261neqned 2789 . 2 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))
631, 2ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑋𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
6415, 7, 5, 63syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
651, 2ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
6615, 7, 6, 65syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
678, 10pltval 16783 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
684, 64, 66, 67syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
6923, 62, 68mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  lecple 15775  0gc0g 15923  ltcplt 16764  Grpcgrp 17245  1rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494  DivRingcdr 18570  oRingcorng 29126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-plt 16781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-omnd 29030  df-ogrp 29031  df-orng 29128
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator