Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr1p 23725
 Description: Divisibility in a polynomial ring in terms of the remainder. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
dvdsq1p.d = (∥r𝑃)
dvdsq1p.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
dvdsr1p.z 0 = (0g𝑃)
dvdsr1p.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsr1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr1p
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19439 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
6 simp2 1055 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
7 eqid 2610 . . . . 5 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
8 dvdsq1p.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 dvdsq1p.c . . . . 5 𝐶 = (Unic1p𝑅)
107, 1, 8, 9q1pcl 23719 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
111, 8, 9uc1pcl 23707 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
12113ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
13 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
148, 13ringcl 18384 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
153, 10, 12, 14syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
16 dvdsr1p.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
17 eqid 2610 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
188, 16, 17grpsubeq0 17324 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = 0𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
195, 6, 15, 18syl3anc 1318 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = 0𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
20 dvdsr1p.e . . . . 5 𝐸 = (rem1p𝑅)
2120, 1, 8, 7, 13, 17r1pval 23720 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
226, 12, 21syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
2322eqeq1d 2612 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝐸𝐺) = 0 ↔ (𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = 0 ))
24 dvdsq1p.d . . 3 = (∥r𝑃)
251, 24, 8, 9, 13, 7dvdsq1p 23724 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
2619, 23, 253bitr4rd 300 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Ringcrg 18370  ∥rcdsr 18461  Poly1cpl1 19368  Unic1pcuc1p 23690  quot1pcq1p 23691  rem1pcr1p 23692 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-rlreg 19104  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620  df-uc1p 23695  df-q1p 23696  df-r1p 23697 This theorem is referenced by:  facth1  23728  ig1pdvds  23740
 Copyright terms: Public domain W3C validator