MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr1p Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvdsr1p 23160
Description: Divisibility in a polynomial ring in terms of the remainder. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
dvdsq1p.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
dvdsq1p.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
dvdsq1p.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
dvdsr1p.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
dvdsr1p.e  |-  E  =  (rem1p `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsr1p  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  ( F E G )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem dvdsr1p
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1ring 18889 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
323ad2ant1 1035 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Ring )
4 ringgrp 17833 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Grp )
6 simp2 1015 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
7 eqid 2461 . . . . 5  |-  (quot1p `  R
)  =  (quot1p `  R
)
8 dvdsq1p.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 dvdsq1p.c . . . . 5  |-  C  =  (Unic1p `  R )
107, 1, 8, 9q1pcl 23154 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B )
111, 8, 9uc1pcl 23142 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
12113ad2ant3 1037 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
13 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
148, 13ringcl 17842 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )
153, 10, 12, 14syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F (quot1p `  R
) G ) ( .r `  P ) G )  e.  B
)
16 dvdsr1p.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
17 eqid 2461 . . . 4  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
188, 16, 17grpsubeq0 16788 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  =  .0.  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
195, 6, 15, 18syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  =  .0.  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
20 dvdsr1p.e . . . . 5  |-  E  =  (rem1p `  R )
2120, 1, 8, 7, 13, 17r1pval 23155 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
226, 12, 21syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
2322eqeq1d 2463 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F E G )  =  .0.  <->  ( F
( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) )  =  .0.  ) )
24 dvdsq1p.d . . 3  |-  .||  =  (
||r `  P )
251, 24, 8, 9, 13, 7dvdsq1p 23159 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
2619, 23, 253bitr4rd 294 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  ( F E G )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   .rcmulr 15239   0gc0g 15386   Grpcgrp 16717   -gcsg 16719   Ringcrg 17828   ||rcdsr 17914  Poly1cpl1 18818  Unic1pcuc1p 23123  quot1pcq1p 23124  rem1pcr1p 23125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-sup 7981  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-ghm 16929  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-subrg 18054  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-rlreg 18555  df-psr 18628  df-mvr 18629  df-mpl 18630  df-opsr 18632  df-psr1 18821  df-vr1 18822  df-ply1 18823  df-coe1 18824  df-cnfld 19019  df-mdeg 23052  df-deg1 23053  df-uc1p 23129  df-q1p 23130  df-r1p 23131
This theorem is referenced by:  facth1  23163  ig1pdvds  23176  ig1pdvdsOLD  23182
  Copyright terms: Public domain W3C validator