MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr1p Structured version   Unicode version

Theorem dvdsr1p 22647
Description: Divisibility in a polynomial ring in terms of the remainder. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
dvdsq1p.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
dvdsq1p.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
dvdsq1p.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
dvdsr1p.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
dvdsr1p.e  |-  E  =  (rem1p `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsr1p  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  ( F E G )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem dvdsr1p
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1ring 18402 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
323ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Ring )
4 ringgrp 17316 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Grp )
6 simp2 995 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
7 eqid 2382 . . . . 5  |-  (quot1p `  R
)  =  (quot1p `  R
)
8 dvdsq1p.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 dvdsq1p.c . . . . 5  |-  C  =  (Unic1p `  R )
107, 1, 8, 9q1pcl 22641 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B )
111, 8, 9uc1pcl 22629 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
12113ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
13 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
148, 13ringcl 17325 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )
153, 10, 12, 14syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F (quot1p `  R
) G ) ( .r `  P ) G )  e.  B
)
16 dvdsr1p.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
17 eqid 2382 . . . 4  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
188, 16, 17grpsubeq0 16241 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  =  .0.  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
195, 6, 15, 18syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  =  .0.  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
20 dvdsr1p.e . . . . 5  |-  E  =  (rem1p `  R )
2120, 1, 8, 7, 13, 17r1pval 22642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
226, 12, 21syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
2322eqeq1d 2384 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F E G )  =  .0.  <->  ( F
( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) )  =  .0.  ) )
24 dvdsq1p.d . . 3  |-  .||  =  (
||r `  P )
251, 24, 8, 9, 13, 7dvdsq1p 22646 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
2619, 23, 253bitr4rd 286 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  ( F E G )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   .rcmulr 14703   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   -gcsg 16172   Ringcrg 17311   ||rcdsr 17400  Poly1cpl1 18329  Unic1pcuc1p 22612  quot1pcq1p 22613  rem1pcr1p 22614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-rlreg 18044  df-psr 18118  df-mvr 18119  df-mpl 18120  df-opsr 18122  df-psr1 18332  df-vr1 18333  df-ply1 18334  df-coe1 18335  df-cnfld 18534  df-mdeg 22538  df-deg1 22539  df-uc1p 22617  df-q1p 22618  df-r1p 22619
This theorem is referenced by:  facth1  22650  ig1pdvds  22662
  Copyright terms: Public domain W3C validator