MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr1p Structured version   Unicode version

Theorem dvdsr1p 21735
Description: Divisibility in a polynomial ring in terms of the remainder. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
dvdsq1p.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
dvdsq1p.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
dvdsq1p.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
dvdsr1p.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
dvdsr1p.e  |-  E  =  (rem1p `  R )
Assertion
Ref Expression
dvdsr1p  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  ( F E G )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem dvdsr1p
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1rng 17796 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
323ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Ring )
4 rnggrp 16742 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Grp )
6 simp2 989 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
7 eqid 2450 . . . . 5  |-  (quot1p `  R
)  =  (quot1p `  R
)
8 dvdsq1p.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 dvdsq1p.c . . . . 5  |-  C  =  (Unic1p `  R )
107, 1, 8, 9q1pcl 21729 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B )
111, 8, 9uc1pcl 21717 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
12113ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
13 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
148, 13rngcl 16750 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )
153, 10, 12, 14syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F (quot1p `  R
) G ) ( .r `  P ) G )  e.  B
)
16 dvdsr1p.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
17 eqid 2450 . . . 4  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
188, 16, 17grpsubeq0 15700 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  =  .0.  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
195, 6, 15, 18syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  =  .0.  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
20 dvdsr1p.e . . . . 5  |-  E  =  (rem1p `  R )
2120, 1, 8, 7, 13, 17r1pval 21730 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
226, 12, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
2322eqeq1d 2452 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F E G )  =  .0.  <->  ( F
( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) )  =  .0.  ) )
24 dvdsq1p.d . . 3  |-  .||  =  (
||r `  P )
251, 24, 8, 9, 13, 7dvdsq1p 21734 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  F  =  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G ) ) )
2619, 23, 253bitr4rd 286 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( G  .||  F  <->  ( F E G )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   .rcmulr 14327   0gc0g 14466   Grpcgrp 15498   -gcsg 15501   Ringcrg 16737   ||rcdsr 16822  Poly1cpl1 17726  Unic1pcuc1p 21700  quot1pcq1p 21701  rem1pcr1p 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448  ax-mulf 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-cring 16740  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-subrg 16955  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-rlreg 17446  df-psr 17515  df-mvr 17516  df-mpl 17517  df-opsr 17519  df-psr1 17729  df-vr1 17730  df-ply1 17731  df-coe1 17732  df-cnfld 17914  df-mdeg 21626  df-deg1 21627  df-uc1p 21705  df-q1p 21706  df-r1p 21707
This theorem is referenced by:  facth1  21738  ig1pdvds  21750
  Copyright terms: Public domain W3C validator