Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul2 23678
 Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials when the first leads with a nonzero-divisor coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul2.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul2.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul2.t · = (.r𝑃)
deg1mul2.z 0 = (0g𝑃)
deg1mul2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mul2.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul2.fz (𝜑𝐹0 )
deg1mul2.fc (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
deg1mul2.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul2.gz (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul2
StepHypRef Expression
1 deg1mul2.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 deg1mul2.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 deg1mul2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 deg1mul2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 deg1mul2.t . . 3 · = (.r𝑃)
6 deg1mul2.fb . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
7 deg1mul2.gb . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
8 deg1mul2.fz . . . 4 (𝜑𝐹0 )
9 deg1mul2.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
102, 1, 9, 4deg1nn0cl 23652 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
113, 6, 8, 10syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
12 deg1mul2.gz . . . 4 (𝜑𝐺0 )
132, 1, 9, 4deg1nn0cl 23652 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
143, 7, 12, 13syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
1511nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
1615leidd 10473 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
1714nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
1817leidd 10473 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷𝐺))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 16, 18deg1mulle2 23673 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
201ply1ring 19439 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
213, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
224, 5ringcl 18384 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2321, 6, 7, 22syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2411, 14nn0addcld 11232 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0)
25 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 5, 25, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 7, 12coe1mul4 23664 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) = (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))))
27 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 eqid 2610 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
292, 1, 9, 4, 27, 28deg1ldg 23656 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
303, 7, 12, 29syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅))
31 deg1mul2.fc . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
32 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3328, 4, 1, 32coe1f 19402 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
347, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3534, 14ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅))
36 deg1mul2.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3736, 32, 25, 27rrgeq0i 19110 . . . . . . 7 ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸 ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3831, 35, 37syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) = (0g𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (0g𝑅)))
3938necon3d 2803 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ≠ (0g𝑅) → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)))
4030, 39mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹))(.r𝑅)((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
4126, 40eqnetrd 2849 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅))
42 eqid 2610 . . . 4 (coe1‘(𝐹 · 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 · 𝐺))
432, 1, 4, 27, 42deg1ge 23662 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℕ0 ∧ ((coe1‘(𝐹 · 𝐺))‘((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺))) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
4423, 24, 41, 43syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))
452, 1, 4deg1xrcl 23646 . . . 4 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4623, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ*)
4724nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
4847rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*)
49 xrletri3 11861 . . 3 (((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5046, 48, 49syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ↔ ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ∧ ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)) ≤ (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)))))
5119, 44, 50mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  RLRegcrlreg 19100  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-rlreg 19104  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620 This theorem is referenced by:  ply1domn  23687  ply1divmo  23699  fta1glem1  23729  mon1psubm  36803  deg1mhm  36804
 Copyright terms: Public domain W3C validator