Theorem mamulid 20066

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mamulid	⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamulid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
13	2, 4, 10, 11, 12, 6	mamumat1cl 20064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
15		mamulid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
17		simprl 790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑙 ∈ 𝑀)
18		simprr 792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19	1, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18	mamufv 20012	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20		ringmnd 18379	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 7765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
24	13, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑀)
27		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovrnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29		elmapi 7765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32		simplrr 797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑁)
33	31, 27, 32	fovrnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 18384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
36		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
37	35, 36	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀⟶𝐵)
38	26	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑙 ∈ 𝑀)
39		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑚 ∈ 𝑀)
40	2, 4, 10, 11, 12, 6	mat1comp 20065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
41		equcom 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙))
43	42	ifbid 4058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
44	40, 43	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45	38, 39, 44	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
46		ifnefalse 4048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ≠ 𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
47	46	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
48	45, 47	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
49	48	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
50	2, 3, 11	ringlz 18410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51	22, 33, 50	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
52	51	3adant3 1074	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
53	49, 52	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
54	53, 7	suppsssn 7217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
55	2, 11, 21, 7, 17, 37, 54	gsumpt 18184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
56		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
57		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
58	56, 57	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
59		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
60	58, 36, 59	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
61	60	ad2antrl 760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62		equequ1 1939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑗))
63	62	ifbid 4058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64		equequ2 1940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑙))
65	64	ifbid 4058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66		equid 1926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 = 𝑙
67	66	iftruei 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
68	65, 67	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
69		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
70	10, 69	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
71	63, 68, 12, 70	ovmpt2 6694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑙 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
72	71	anidms 675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
73	72	ad2antrl 760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
74	73	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
75	30	fovrnda 6703	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
76	2, 3, 10	ringlidm 18394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
77	5, 75, 76	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
78	61, 74, 77	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
79	19, 55, 78	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
80	79	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
81	2, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15	mamucl 20026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
82		elmapi 7765	. . . . 5 ⊢ ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
83	81, 82	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
84		ffn 5958	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
85	83, 84	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
86		ffn 5958	. . . 4 ⊢ (𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
87	30, 86	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
88		eqfnov2 6665	. . 3 ⊢ (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
89	85, 87, 88	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
90	80, 89	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ifcif 4036  ⟨cotp 4133   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117  1_rcur 18324  Ringcrg 18370   maMul cmmul 20008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-mamu 20009

This theorem is referenced by:  matring  20068  mat1  20072