Theorem ovmpt2 6694

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpt2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpt2g.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpt2g.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpt2.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpt2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpt2.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpt2g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpt2g.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpt2g.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpt2g 6693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1405	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554

This theorem is referenced by:  seqomlem1  7432  seqomlem4  7435  oav  7478  omv  7479  oev  7481  iunfictbso  8820  fin23lem12  9036  axdc4lem  9160  axcclem  9162  addpipq2  9637  mulpipq2  9640  subval  10151  divval  10566  cnref1o  11703  ixxval  12054  fzval  12199  modval  12532  om2uzrdg  12617  uzrdgsuci  12621  axdc4uzlem  12644  seqval  12674  seqp1  12678  bcval  12953  cnrecnv  13753  risefacval  14578  fallfacval  14579  gcdval  15056  lcmval  15143  imasvscafn  16020  imasvscaval  16021  grpsubval  17288  isghm  17483  lactghmga  17647  efgmval  17948  efgtval  17959  frgpup3lem  18013  dvrval  18508  psrvsca  19212  frlmval  19911  mat1comp  20065  mamulid  20066  mamurid  20067  madufval  20262  xkococnlem  21272  xkococn  21273  cnextval  21675  dscmet  22187  cncfval  22499  htpycom  22583  htpyid  22584  phtpycom  22595  phtpyid  22596  logbval  24304  isismt  25229  grpodivval  26773  ipval  26942  lnoval  26991  nmoofval  27001  bloval  27020  0ofval  27026  ajfval  27048  hvsubval  27257  hosmval  27978  hommval  27979  hodmval  27980  hfsmval  27981  hfmmval  27982  kbfval  28195  opsqrlem3  28385  xdivval  28958  smatrcl  29190  smatlem  29191  mdetpmtr12  29219  fvproj  29227  pstmfval  29267  sxval  29580  ismbfm  29641  dya2iocival  29662  sitgval  29721  sitmval  29738  oddpwdcv  29744  ballotlemgval  29912  cvmlift2lem4  30542  icoreval  32377  metf1o  32721  heiborlem3  32782  heiborlem6  32785  heiborlem8  32787  heibor  32790  ldualvs  33442  tendopl  35082  cdlemkuu  35201  dvavsca  35323  dvhvaddval  35397  dvhvscaval  35406  hlhilipval  36259  wwlks2onv  41158  dpval  42310