Theorem seqp1 12678

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqp1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem seqp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11568	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	2	eleq2d 2673	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4		seqeq1 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
5	4	fveq1d 6105	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
6	4	fveq1d 6105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁))
7	6	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))
8	5, 7	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁))))
9	3, 8	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))))
10		0z 11265	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	10	elimel 4100	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
12		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
13		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
14		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
15	14	seqval 12674	. . . . 5 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
16	11, 12, 13, 14, 15	uzrdgsuci 12621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))
17	9, 16	dedth 4089	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
18	1, 17	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
19		elex 3185	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ V)
20		fvex 6113	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
21		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 + 1) = (𝑁 + 1))
22	21	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
23	22	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
24		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
25		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
26		ovex 6577	. . . 4 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ V
27	23, 24, 25, 26	ovmpt2 6694	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
28	19, 20, 27	sylancl 693	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
29	18, 28	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ωcom 6957  reccrdg 7392  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  seqcseq 12663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664

This theorem is referenced by:  seqp1i  12679  seqm1  12680  seqcl2  12681  seqfveq2  12685  seqshft2  12689  sermono  12695  seqsplit  12696  seqcaopr3  12698  seqf1olem2a  12701  seqf1olem2  12703  seqid2  12709  seqhomo  12710  ser1const  12719  expp1  12729  facp1  12927  seqcoll  13105  relexpsucnnr  13613  climserle  14241  iseraltlem2  14261  iseraltlem3  14262  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  clim2prod  14459  prodfn0  14465  prodfrec  14466  ntrivcvgfvn0  14470  ruclem7  14804  sadcp1  15015  smupp1  15040  seq1st  15122  algrp1  15125  eulerthlem2  15325  pcmpt  15434  gsumprval  17104  mulgnnp1  17372  ovolunlem1a  23071  voliunlem1  23125  volsup  23131  dvnp1  23494  bposlem5  24813  opsqrlem5  28387  esumfzf  29458  esumpcvgval  29467  sseqp1  29784  rrvsum  29843  gsumnunsn  29942  iprodefisumlem  30879  faclimlem1  30882  heiborlem4  32783  heiborlem6  32785  fmul01  38647  fmuldfeqlem1  38649  stoweidlem3  38896  wallispilem4  38961  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965