MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Structured version   Unicode version

Theorem seqp1 12225
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11164 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2499 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 seqeq1 12213 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
54fveq1d 5883 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) )
64fveq1d 5883 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
76oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( N ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
85, 7eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  <-> 
(  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
93, 8imbi12d 321 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 0z 10948 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
1110elimel 3977 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
12 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
13 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
14 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1514seqval 12221 . . . . 5  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 12171 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
179, 16dedth 3966 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
) ) )
181, 17mpcom 37 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
) )
19 elex 3096 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  _V )
20 fvex 5891 . . 3  |-  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V
21 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2221fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  ( F `  ( z  +  1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
2322oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
24 oveq1 6312 . . . 4  |-  ( w  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  ->  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
25 eqid 2429 . . . 4  |-  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
26 ovex 6333 . . . 4  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  e. 
_V
2723, 24, 25, 26ovmpt2 6446 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V )  ->  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2819, 20, 27sylancl 666 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N
( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2918, 28eqtrd 2470 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   ifcif 3915   <.cop 4008    |-> cmpt 4484    |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   omcom 6706   reccrdg 7135   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159    seqcseq 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211
This theorem is referenced by:  seqp1i  12226  seqm1  12227  seqcl2  12228  seqfveq2  12232  seqshft2  12236  sermono  12242  seqsplit  12243  seqcaopr3  12245  seqf1olem2a  12248  seqf1olem2  12250  seqid2  12256  seqhomo  12257  ser1const  12266  expp1  12276  facp1  12461  seqcoll  12621  relexpsucnnr  13067  climserle  13704  iseraltlem2  13727  iseraltlem3  13728  climcndslem1  13885  climcndslem2  13886  clim2prod  13922  prodfn0  13928  prodfrec  13929  ntrivcvgfvn0  13933  ruclem7  14266  sadcp1  14403  smupp1  14428  seq1st  14501  algrp1  14504  eulerthlem2  14699  pcmpt  14800  gsumprval  16475  mulgnnp1  16717  ovolunlem1a  22327  voliunlem1  22380  volsup  22386  dvnp1  22756  bposlem5  24079  gxnn0suc  25837  opsqrlem5  27632  esumfzf  28729  esumpcvgval  28738  sseqp1  29054  rrvsum  29113  gsumnunsn  29213  iprodefisumlem  30163  faclimlem1  30166  heiborlem4  31850  heiborlem6  31852  fmul01  37230  fmuldfeqlem1  37232  stoweidlem3  37432  wallispilem4  37499  wallispi2lem1  37502  wallispi2lem2  37503
  Copyright terms: Public domain W3C validator