MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Structured version   Unicode version

Theorem seqp1 11821
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10866 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 seqeq1 11809 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
54fveq1d 5693 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) )
64fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
76oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( N ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
85, 7eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  <-> 
(  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
93, 8imbi12d 320 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 0z 10657 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
1110elimel 3852 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
13 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
14 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1514seqval 11817 . . . . 5  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 11783 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
179, 16dedth 3841 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
) ) )
181, 17mpcom 36 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
) )
19 elex 2981 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  _V )
20 fvex 5701 . . 3  |-  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V
21 oveq1 6098 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (
z  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2221fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  ( F `  ( z  +  1 ) )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
2322oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
24 oveq1 6098 . . . 4  |-  ( w  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  ->  ( w  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
26 ovex 6116 . . . 4  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  e. 
_V
2723, 24, 25, 26ovmpt2 6226 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V )  ->  ( N ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2819, 20, 27sylancl 662 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N
( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
2918, 28eqtrd 2475 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  .+  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   ifcif 3791   <.cop 3883    e. cmpt 4350    |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   omcom 6476   reccrdg 6865   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861    seqcseq 11806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807
This theorem is referenced by:  seqp1i  11822  seqm1  11823  seqcl2  11824  seqfveq2  11828  seqshft2  11832  sermono  11838  seqsplit  11839  seqcaopr3  11841  seqf1olem2a  11844  seqf1olem2  11846  seqid2  11852  seqhomo  11853  ser1const  11862  expp1  11872  facp1  12056  seqcoll  12216  climserle  13140  iseraltlem2  13160  iseraltlem3  13161  climcndslem1  13312  climcndslem2  13313  ruclem7  13518  sadcp1  13651  smupp1  13676  seq1st  13746  algrp1  13749  eulerthlem2  13857  pcmpt  13954  gsumprval  15514  mulgnnp1  15635  ovolunlem1a  20979  voliunlem1  21031  volsup  21037  dvnp1  21399  bposlem5  22627  gxnn0suc  23751  opsqrlem5  25548  esumfzf  26518  esumpcvgval  26527  sseqp1  26778  rrvsum  26837  gsumnunsn  26937  relexpsucr  27332  clim2prod  27403  prodfn0  27409  prodfrec  27410  ntrivcvgfvn0  27414  iprodefisumlem  27504  faclimlem1  27549  heiborlem4  28713  heiborlem6  28715  fmul01  29761  fmuldfeqlem1  29763  stoweidlem3  29798  wallispilem4  29863  wallispi2lem1  29866  wallispi2lem2  29867
  Copyright terms: Public domain W3C validator