Theorem iseraltlem2 14261

Description: Lemma for iseralt 14263. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example 𝑆(1) ≤ 𝑆(3) ≤ 𝑆(5) ≤ ... and ... ≤ 𝑆(4) ≤ 𝑆(2) ≤ 𝑆(0) (assuming 𝑀 = 0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem2

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
2		2t0e0 11060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 0) = 0
3	1, 2	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
4	3	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + 0))
5	4	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)))
6	5	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))))
7	6	breq1d 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
8	7	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
9		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
10	9	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝑛)))
11	10	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))))
12	11	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
13	12	breq1d 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
14	13	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
15		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1)))
16	15	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))
17	16	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))
18	17	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))))
19	18	breq1d 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
20	19	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
21		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
22	21	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝐾)))
23	22	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))
24	23	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
25	24	breq1d 4593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
26	25	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
27		iseralt.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
28		uzssz 11583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
29	27, 28	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
31	30	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	32	addid1d 10115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
34	33	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
35	34	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
36		neg1rr 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
37		neg1ne0 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
38		reexpclz 12742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	mp3an12 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
40	31, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
41		iseralt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
42		iseralt.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
43	30	sselda 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
44		reexpclz 12742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
45	36, 37, 44	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
47		iseralt.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
48	47	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
49	46, 48	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
50	42, 49	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
51	27, 41, 50	serfre 12692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
52	51	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
53	40, 52	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
54	53	leidd 10473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
55	35, 54	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
56	47	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
57		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
58	57	2timesi 11024	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
59	58	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1))
60		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ 𝑍)
61	60, 27	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
65	64	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
66		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
67		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
69		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
70	66, 68, 69	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
71	66, 57	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 1) ∈ ℂ)
73	65, 70, 72	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
74	59, 73	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
75		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ0
76		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
77		nn0mulcl 11206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
78	75, 76, 77	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
79		uzaddcl 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
80	62, 78, 79	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
81	28, 80	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)
82	81	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
83		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
84	82, 83, 83	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)))
85		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
86	85, 68, 83	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
87	86	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
88	74, 84, 87	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))
89		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
91		nn0mulcl 11206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
92	75, 90, 91	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
93		uzaddcl 11620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
94	62, 92, 93	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
95	94, 27	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ 𝑍)
96	88, 95	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍)
97	56, 96	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
98		peano2uz 11617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
99	80, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
100	99, 27	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍)
101	56, 100	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
102	97, 101	resubcld 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
103		0red 9920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
104	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
105	51	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
106	80, 27	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ 𝑍)
107	105, 106	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
108	104, 107	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ)
109		iseralt.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
110	109	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
111	110	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
112		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝑘 + 1) = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))
113	112	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
114		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
115	113, 114	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
116	115	rspcv 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
117	100, 111, 116	sylc 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
118	97, 101	suble0d 10497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0 ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
119	117, 118	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0)
120	102, 103, 108, 119	leadd2dd 10521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0))
121		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
122	99, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
123		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
124	80, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
125	124	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
126	122, 125	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
127	88	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))
128	107	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
129	42	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
130	129	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
131		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
132		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
133	132, 114	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
134	131, 133	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
135	134	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
136	100, 130, 135	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
137		neg1cn 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
139	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
140	138, 139, 81	expp1zd 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1))
141	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
142	141, 139, 81	reexpclzd 12896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
143	142	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
144		mulcom 9901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
145	143, 137, 144	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
146	143	mulm1d 10361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) = -(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
147	140, 145, 146	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = -(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
148	147	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
149	101	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
150		mulneg12 10347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
151	143, 149, 150	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
152	136, 148, 151	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
153	101	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
154	142, 153	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
155	152, 154	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
156	155	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
157		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
158		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
159		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
160	158, 159	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
161	157, 160	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
162	161	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
163	96, 130, 162	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
164	81	peano2zd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
165	138, 139, 164	expp1zd 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · -1))
166	147	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · -1) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1))
167		mul2neg 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1))
168	143, 57, 167	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1))
169	143	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
170	168, 169	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
171	165, 166, 170	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
172	171	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
173	163, 172	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
174	142, 97	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
175	173, 174	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
176	175	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℂ)
177	128, 156, 176	addassd 9941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
178	126, 127, 177	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
179	178	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))))
180	104	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
181	155, 175	readdcld 9948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
182	181	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℂ)
183	180, 128, 182	adddid 9943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))))
184	180, 156, 176	adddid 9943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
185	152	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
186	153	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
187	180, 143, 186	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
188	185, 187	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
189	85, 65, 68	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 + 𝑛)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛)))
190	65	2timesd 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
191	190	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛)) = ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)))
192	65, 65, 70	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)) = (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))))
193	189, 191, 192	3eqtrrd 2649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))) = (2 · (𝑁 + 𝑛)))
194	193	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))))
195		expaddz 12766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
196	138, 139, 64, 81, 195	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
197		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
199		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
200		zaddcl 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)
201	31, 199, 200	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)
202		expmulz 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
203	138, 139, 198, 201, 202	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
204		neg1sqe1 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1↑2) = 1
205	204	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = (1↑(𝑁 + 𝑛))
206		1exp 12751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
207	201, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
208	205, 207	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
209	203, 208	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = 1)
210	194, 196, 209	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) = 1)
211	210	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
212	186	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
213	188, 211, 212	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
214	173	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
215	97	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℂ)
216	180, 143, 215	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
217	214, 216	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
218	210	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
219	215	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
220	217, 218, 219	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
221	213, 220	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
222	149	negcld 10258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
223	222, 215	addcomd 10117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
224	215, 149	negsubd 10277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
225	223, 224	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
226	184, 221, 225	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
227	226	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
228	179, 183, 227	3eqtrrd 2649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))))
229	108	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
230	229	addid1d 10115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
231	120, 228, 230	3brtr3d 4614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
232	105, 95	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
233	104, 232	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
234	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
235		letr 10010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
236	233, 108, 234, 235	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
237	231, 236	mpand 707	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
238	237	expcom 450	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
239	238	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
240	8, 14, 20, 26, 55, 239	nn0ind 11348	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
241	240	com12 32	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
242	241	3impia 1253	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  seqcseq 12663  ↑cexp 12722   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  iseraltlem3  14262