Theorem addcomd 10117

Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addcomd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1, 1	addcld 9938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ∈ ℂ)
3		muld.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		addcomd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	adddid 9943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
6	3, 4	addcld 9938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7		1p1times 10086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9		1p1times 10086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
11		1p1times 10086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
13	10, 12	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
14	5, 8, 13	3eqtr3rd 2653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
15	3, 3	addcld 9938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	15, 4, 4	addassd 9941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
17	6, 3, 4	addassd 9941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
19	15, 4	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
20	6, 3	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
21		addcan2 10100	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
22	19, 20, 4, 21	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
24	3, 3, 4	addassd 9941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
25	3, 4, 3	addassd 9941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
26	23, 24, 25	3eqtr3d 2652	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
27	4, 3	addcld 9938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
28		addcan 10099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
29	3, 6, 27, 28	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
30	26, 29	mpbid 221	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  muladd11r  10128  comraddd  10129  subadd2  10164  pncan  10166  npcan  10169  subcan  10215  subaddeqd  10325  addrsub  10327  ltadd1  10374  leadd2  10376  ltsubadd2  10378  lesubadd2  10380  lesub3d  10524  supadd  10868  ltaddrp2d  11782  lincmb01cmp  12186  iccf1o  12187  modaddabs  12570  muladdmodid  12572  negmod  12577  modadd2mod  12582  modadd12d  12588  modaddmulmod  12599  addmodlteq  12607  expaddz  12766  bcn2m1  12973  bcn2p1  12974  ccatrn  13225  addlenswrd  13290  spllen  13356  splfv2a  13358  relexpaddnn  13639  relexpaddg  13641  rtrclreclem3  13648  remullem  13716  sqreulem  13947  climaddc2  14214  clim2ser2  14234  iseraltlem2  14261  telfsumo  14375  fsumparts  14379  bcxmas  14406  bpoly4  14629  cosneg  14716  coshval  14724  sinadd  14733  sincossq  14745  cos2t  14747  absefi  14765  absefib  14767  dvdsaddre2b  14867  pwp1fsum  14952  sadadd2lem2  15010  bitsres  15033  bezoutlem2  15095  bezoutlem4  15097  pythagtrip  15377  pcadd2  15432  vdwapun  15516  vdwlem5  15527  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530  gsumccat  17201  mulgnndir  17392  mulgnndirOLD  17393  mulgdirlem  17395  mulgdir  17396  sylow1lem1  17836  efgcpbllemb  17991  cygabl  18115  ablfacrp  18288  icccvx  22557  cnlmod  22748  cphipval  22850  pjthlem1  23016  ovolicc2lem4  23095  cmmbl  23109  voliunlem1  23125  itgmulc2  23406  dvle  23574  dvcvx  23587  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem4  23596  dvfsum2  23601  ply1divex  23700  plymullem1  23774  coeeulem  23784  aaliou3lem6  23907  dvtaylp  23928  ulmcn  23957  abelthlem7  23996  pilem3  24011  rzgrp  24104  lawcos  24346  affineequiv  24353  heron  24365  quad2  24366  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic  24373  mcubic  24374  quart1lem  24382  quart1  24383  asinlem2  24396  asinsin  24419  cosasin  24431  atanlogaddlem  24440  atanlogadd  24441  cvxcl  24511  scvxcvx  24512  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamcvg2  24581  lgam1  24590  bposlem9  24817  lgseisenlem1  24900  2sqlem3  24945  2sqblem  24956  dchrisumlem2  24979  selberg  25037  selberg2  25040  chpdifbndlem1  25042  selberg4  25050  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem6  25072  pntibndlem2  25080  pntlemb  25086  pntlemf  25094  padicabv  25119  colinearalglem2  25587  axsegconlem9  25605  axpasch  25621  axeuclidlem  25642  cusgrasizeinds  26004  fargshiftfo  26166  eupath2lem3  26506  numclwlk3lem3  26600  smcnlem  26936  ipval2  26946  hhph  27419  pjhthlem1  27634  golem1  28514  stcltrlem1  28519  bhmafibid2  28976  2sqmod  28979  omndmul2  29043  archirngz  29074  archiabllem1a  29076  archiabllem1  29078  archiabllem2c  29080  ballotlemsdom  29900  signshf  29991  rescon  30482  iprodgam  30881  faclimlem1  30882  faclimlem3  30884  faclim  30885  iprodfac  30886  fwddifnp1  31442  dnibndlem7  31644  dnibndlem8  31645  knoppndvlem14  31686  bj-bary1  32339  dvtan  32630  itg2addnclem3  32633  itgaddnclem2  32639  itgmulc2nc  32648  ftc1anclem8  32662  dvasin  32666  areacirclem1  32670  pellexlem2  36412  pell14qrgt0  36441  rmxyadd  36504  rmxluc  36519  fzmaxdif  36566  acongeq  36568  jm2.19lem2  36575  jm2.26lem3  36586  areaquad  36821  int-addcomd  37498  int-leftdistd  37504  subadd4b  38435  sub31  38444  fsumsplit1  38639  coseq0  38747  coskpi2  38749  cosknegpi  38752  fperdvper  38808  dvbdfbdioolem2  38819  dvnmul  38833  dvmptfprodlem  38834  itgsincmulx  38866  itgsbtaddcnst  38874  stoweidlem11  38904  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem2  38997  fourierdlem4  39004  fourierdlem26  39026  fourierdlem40  39040  fourierdlem42  39042  fourierdlem47  39046  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem78  39077  fourierdlem79  39078  fourierdlem84  39083  fourierdlem93  39092  fourierdlem103  39102  fourierdlem111  39110  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  etransclem32  39159  etransclem46  39173  sge0gtfsumgt  39336  hoidmv1lelem2  39482  hoidmvlelem2  39486  hspmbllem1  39516  smfmullem1  39676  sigarperm  39698  fmtnorec3  39998  2elfz2melfz  40355  eupth2lem3lem3  41398  av-numclwlk3lem3  41506  2zrngacmnd  41732  2zrngagrp  41733  ply1mulgsumlem1  41968  m1modmmod  42110  onetansqsecsq  42301  mvlladdd  42322