Theorem colinearalglem2 25587

Description: Lemma for colinearalg 25590. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗

Proof of Theorem colinearalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
3		fveecn 25582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
5		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		fveecn 25582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
8		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		fveecn 25582	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
10	8, 2, 9	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
11		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
12		fveecn 25582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
14		fveecn 25582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
15	5, 11, 14	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
16		fveecn 25582	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
18		simp1 1054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19		simp3 1056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
20		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
22		simp2 1055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
23		simp1 1054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
24		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 9938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
27		mulcl 9899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
28	22, 19, 27	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 10271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
30		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
31		mulcl 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
32	18, 30, 31	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
33		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
34		mulcl 9899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
35	33, 23, 34	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
36		mulcl 9899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
37	33, 30, 36	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
38	35, 37	subcld 10271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
39	29, 32, 38	subadd2d 10290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)))))
40		eqcom 2617	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
41	39, 40	syl6bb 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
42	35, 32, 37	addsubd 10292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
43	35, 32	addcomd 10117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
44	43	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
45	42, 44	eqtr3d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
46	45	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
47	41, 46	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
48	26, 28, 32	subsub4d 10302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
49	28, 32	addcld 9938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
50	21, 49, 25	subsub3d 10301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
51	28, 25, 32	subsub3d 10301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
52	51	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
53	52	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
54	25, 32	subcld 10271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
55	21, 28, 54	subsubd 10299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
56	53, 55	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
57	48, 50, 56	3eqtr2d 2650	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
58	21, 28	subcld 10271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
59	58, 25, 32	addsub12d 10294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
60	21, 28, 32	subsub4d 10302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
61	60	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
62	59, 61	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
63	57, 62	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
64	63	eqeq1d 2612	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
65	32, 35	addcld 9938	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
66		subeqrev 10332	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ) ∧ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
67	26, 28, 65, 37, 66	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
68	47, 64, 67	3bitr3rd 298	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
69	21, 49	subcld 10271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ∈ ℂ)
70	25, 69, 38	addrsub 10327	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))))
71	35, 37, 25	sub32d 10303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
72	35, 25, 37	subsub4d 10302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
73	71, 72	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
74	73	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
75	70, 74	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
76		eqcom 2617	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
77	75, 76	syl6bb 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
78	68, 77	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
79		colinearalglem1 25586	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
80		3anrot 1036	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ))
81		3anrot 1036	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ))
82		colinearalglem1 25586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
83	80, 81, 82	syl2anb 495	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
84	78, 79, 83	3bitr4d 299	. . 3 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
85	4, 7, 10, 13, 15, 17, 84	syl33anc 1333	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
86	85	2ralbidva 2971	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ...cfz 12197  𝔼cee 25568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-ee 25571

This theorem is referenced by:  colinearalglem3  25588  colinearalg  25590