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Theorem colinearalglem2 23879
Description: Lemma for colinearalg 23882. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j

Proof of Theorem colinearalglem2
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
3 fveecn 23874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
5 simp2 992 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
6 fveecn 23874 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
75, 2, 6syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  i
)  e.  CC )
8 simp3 993 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
9 fveecn 23874 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
108, 2, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
12 fveecn 23874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
131, 11, 12syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  j
)  e.  CC )
14 fveecn 23874 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
155, 11, 14syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  j
)  e.  CC )
16 fveecn 23874 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
178, 11, 16syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  j
)  e.  CC )
18 simp1 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
19 simp3 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
20 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
22 simp2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
23 simp1 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
24 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
2621, 25addcld 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
27 mulcl 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2822, 19, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
2926, 28subcld 9919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
30 simp2 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
31 mulcl 9565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3218, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
33 simp3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
34 mulcl 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
3533, 23, 34syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
36 mulcl 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3733, 30, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
3835, 37subcld 9919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
3929, 32, 38subadd2d 9938 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
40 eqcom 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  <->  ( (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )
4139, 40syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4235, 32, 37addsubd 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4335, 32addcomd 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
4443oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4542, 44eqtr3d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4645eqeq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4741, 46bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4826, 28, 32subsub4d 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
4928, 32addcld 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5021, 49, 25subsub3d 9949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5128, 25, 32subsub3d 9949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
5251eqcomd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5352oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
5425, 32subcld 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5521, 28, 54subsubd 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5653, 55eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5748, 50, 563eqtr2d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5821, 28subcld 9919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
5958, 25, 32addsub12d 9942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6021, 28, 32subsub4d 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6160oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6259, 61eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6357, 62eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6463eqeq1d 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
6532, 35addcld 9604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
66 subeqrev 9971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC  /\  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )  /\  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
6726, 28, 65, 37, 66syl22anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  -  ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) ) ) ) )
6847, 64, 673bitr3rd 284 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
69 eqcom 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )
7021, 49subcld 9919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  e.  CC )
7138, 25, 70subaddd 9937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7269, 71syl5rbbr 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) ) )
7335, 37, 25sub32d 9951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
7435, 25, 37subsub4d 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7675eqeq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
7772, 76bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
78 eqcom 2469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7977, 78syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
8068, 79bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
81 colinearalglem1 23878 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
82 3anrot 973 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  <->  ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `
 i )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC ) )
83 3anrot 973 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  <->  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `
 j )  e.  CC  /\  ( A `
 j )  e.  CC ) )
84 colinearalglem1 23878 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  i )  e.  CC )  /\  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8582, 83, 84syl2anb 479 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8680, 81, 853bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
874, 7, 10, 13, 15, 17, 86syl33anc 1238 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
88872ralbidva 2899 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   ...cfz 11661   EEcee 23860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797  df-ee 23863
This theorem is referenced by:  colinearalglem3  23880  colinearalg  23882
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