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Theorem colinearalglem2 23151
Description: Lemma for colinearalg 23154. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j

Proof of Theorem colinearalglem2
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
3 fveecn 23146 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
5 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
6 fveecn 23146 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
75, 2, 6syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  i
)  e.  CC )
8 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
9 fveecn 23146 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
108, 2, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
12 fveecn 23146 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
131, 11, 12syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  j
)  e.  CC )
14 fveecn 23146 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
155, 11, 14syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  j
)  e.  CC )
16 fveecn 23146 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
178, 11, 16syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  j
)  e.  CC )
18 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
19 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
20 mulcl 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
22 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
23 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
24 mulcl 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
2621, 25addcld 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
27 mulcl 9364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2822, 19, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
2926, 28subcld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
30 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
31 mulcl 9364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3218, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
33 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
34 mulcl 9364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
3533, 23, 34syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
36 mulcl 9364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3733, 30, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
3835, 37subcld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
3929, 32, 38subadd2d 9736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
40 eqcom 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  <->  ( (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )
4139, 40syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4235, 32, 37addsubd 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4335, 32addcomd 9569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
4443oveq1d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4542, 44eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4645eqeq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4741, 46bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4826, 28, 32subsub4d 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
4928, 32addcld 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5021, 49, 25subsub3d 9747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5128, 25, 32subsub3d 9747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
5251eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5352oveq2d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
5425, 32subcld 9717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5521, 28, 54subsubd 9745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5653, 55eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5748, 50, 563eqtr2d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5821, 28subcld 9717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
5958, 25, 32addsub12d 9740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6021, 28, 32subsub4d 9748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6160oveq2d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6259, 61eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6357, 62eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6463eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
6532, 35addcld 9403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
66 subeqrev 9769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC  /\  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )  /\  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
6726, 28, 65, 37, 66syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  -  ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) ) ) ) )
6847, 64, 673bitr3rd 284 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
69 eqcom 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )
7021, 49subcld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  e.  CC )
7138, 25, 70subaddd 9735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7269, 71syl5rbbr 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) ) )
7335, 37, 25sub32d 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
7435, 25, 37subsub4d 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7675eqeq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
7772, 76bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
78 eqcom 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7977, 78syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
8068, 79bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
81 colinearalglem1 23150 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
82 3anrot 970 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  <->  ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `
 i )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC ) )
83 3anrot 970 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  <->  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `
 j )  e.  CC  /\  ( A `
 j )  e.  CC ) )
84 colinearalglem1 23150 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  i )  e.  CC )  /\  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8582, 83, 84syl2anb 479 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8680, 81, 853bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
874, 7, 10, 13, 15, 17, 86syl33anc 1233 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
88872ralbidva 2753 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    - cmin 9593   ...cfz 11435   EEcee 23132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-ltxr 9421  df-sub 9595  df-neg 9596  df-ee 23135
This theorem is referenced by:  colinearalglem3  23152  colinearalg  23154
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