Theorem gsumccat 17201

Description: Homomorphic property of composites. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccat	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Proof of Theorem gsumccat

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (∅ ++ 𝑋))
2	1	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)))
3		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
4		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gsum0 17101	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
6	3, 5	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
7	6	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
8	2, 7	eqeq12d 2625	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋))))
9		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑊 ++ 𝑋) = (𝑊 ++ ∅))
10	9	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)))
11		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (𝐺 Σg ∅))
12	11, 5	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑋) = (0g‘𝐺))
13	12	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
14	10, 13	eqeq12d 2625	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) ↔ (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺))))
15		gsumwcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16		gsumccat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17		simpl1 1057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18		lennncl 13180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
19	18	3ad2antl2 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
20	19	adantrr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
21		lennncl 13180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
22	21	3ad2antl3 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
23	22	adantrl 748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
24	20, 23	nnaddcld 10944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℕ)
25		nnm1nn0 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ ℕ0)
27		nn0uz 11598	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28	26, 27	syl6eleq 2698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
29		simpl2 1058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
30		simpl3 1059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
31		ccatcl 13212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
32	29, 30, 31	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
33		wrdf 13165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵)
35		ccatlen 13213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
36	29, 30, 35	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘(𝑊 ++ 𝑋)) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
37	36	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
38	20	nnzd 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
39	23	nnzd 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
40	38, 39	zaddcld 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℤ)
41		fzoval 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
43	37, 42	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋))) = (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
44	43	feq2d 5944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑊 ++ 𝑋):(0..^(#‘(𝑊 ++ 𝑋)))⟶𝐵 ↔ (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))⟶𝐵))
45	34, 44	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊 ++ 𝑋):(0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))⟶𝐵)
46	15, 16, 17, 28, 45	gsumval2 17103	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
47		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
49	48, 27	syl6eleq 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
50		wrdf 13165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
51	29, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵)
52		fzoval 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
53	38, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
54	53	feq2d 5944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
55	51, 54	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑊:(0...((#‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
56	15, 16, 17, 49, 55	gsumval2 17103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
57		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑋) ∈ ℕ → ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
58	23, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0)
59	58, 27	syl6eleq 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑋) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
60		wrdf 13165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵)
61	30, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵)
62		fzoval 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑋)) = (0...((#‘𝑋) − 1)))
63	39, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0..^(#‘𝑋)) = (0...((#‘𝑋) − 1)))
64	63	feq2d 5944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋:(0..^(#‘𝑋))⟶𝐵 ↔ 𝑋:(0...((#‘𝑋) − 1))⟶𝐵))
65	61, 64	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋:(0...((#‘𝑋) − 1))⟶𝐵)
66	15, 16, 17, 59, 65	gsumval2 17103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg 𝑋) = (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)))
67	56, 66	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
68	15, 16	mndcl 17124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
69	68	3expb 1258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
70	17, 69	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
71	15, 16	mndass 17125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
72	17, 71	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
73		uzid 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
74	38, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
75		uzaddcl 11620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑋) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
76	74, 58, 75	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
77	20	nncnd 10913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
78	23	nncnd 10913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
79		1cnd 9935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	addsubassd 10291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = ((#‘𝑊) + ((#‘𝑋) − 1)))
81		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
82		npcan 10169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
83	77, 81, 82	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
84	83	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) + 1)) = (ℤ≥‘(#‘𝑊)))
85	76, 80, 84	3eltr4d 2703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) + 1)))
86	45	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) ∈ 𝐵)
87	70, 72, 85, 49, 86	seqsplit 12696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))))
88		simpll2 1094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
89		simpll3 1095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
90	53	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))))
91	90	biimpar 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
92		ccatval1 13214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
93	88, 89, 91, 92	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
94	49, 93	seqfveq 12687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) = (seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
95	77	addid2d 10116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (0 + (#‘𝑊)) = (#‘𝑊))
96	83, 95	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (0 + (#‘𝑊)))
97	96	seqeq1d 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋)) = seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋)))
98	77, 78	addcomd 10117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) = ((#‘𝑋) + (#‘𝑊)))
99	98	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = (((#‘𝑋) + (#‘𝑊)) − 1))
100	78, 77, 79	addsubd 10292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑋) + (#‘𝑊)) − 1) = (((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊)))
101	99, 100	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1) = (((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊)))
102	97, 101	fveq12d 6109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = (seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊))))
103		simpll2 1094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
104		simpll3 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
105	63	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))))
106	105	biimpar 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋)))
107		ccatval3 13216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑋))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
108	103, 104, 106, 107	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))) = (𝑋‘𝑥))
109	108	eqcomd 2616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑋) − 1))) → (𝑋‘𝑥) = ((𝑊 ++ 𝑋)‘(𝑥 + (#‘𝑊))))
110	59, 38, 109	seqshft2 12689	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)) = (seq(0 + (#‘𝑊))( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑋) − 1) + (#‘𝑊))))
111	102, 110	eqtr4d 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1)))
112	94, 111	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq(((#‘𝑊) − 1) + 1)( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1))) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
113	87, 112	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)) = ((seq0( + , 𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) + (seq0( + , 𝑋)‘((#‘𝑋) − 1))))
114	67, 113	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (seq0( + , (𝑊 ++ 𝑋))‘(((#‘𝑊) + (#‘𝑋)) − 1)))
115	46, 114	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
116	115	anassrs 678	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
117		simpl2 1058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
118		ccatrid 13223	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
119	117, 118	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
120	119	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = (𝐺 Σg 𝑊))
121		simpl1 1057	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
122	15	gsumwcl 17200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
123	122	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
124	123	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵)
125	15, 16, 4	mndrid 17135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
126	121, 124, 125	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)) = (𝐺 Σg 𝑊))
127	120, 126	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ∅)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (0g‘𝐺)))
128	14, 116, 127	pm2.61ne 2867	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))
129		ccatlid 13222	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
130	129	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
131	130	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
132		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
133	15	gsumwcl 17200	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
134	133	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵)
135	15, 16, 4	mndlid 17134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
136	132, 134, 135	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg 𝑋))
137	131, 136	eqtr4d 2647	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (∅ ++ 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝐺 Σg 𝑋)))
138	8, 128, 137	pm2.61ne 2867	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ 𝑋)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  seqcseq 12663  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159

This theorem is referenced by:  gsumws2  17202  gsumccatsn  17203  gsumspl  17204  gsumwspan  17206  frmdgsum  17222  frmdup1  17224  gsumwrev  17619  psgnunilem5  17737  psgnuni  17742  frgpuplem  18008  frgpup1  18011  psgnghm  19745  mrsubccat  30669  gsumws3  37521  gsumws4  37522