Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spllen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spllen 13356
 Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
Assertion
Ref Expression
spllen (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))

Proof of Theorem spllen
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13353 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
76fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
8 swrdcl 13271 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13212 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13271 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 ccatlen 13213 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
1511, 13, 14syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
16 lencl 13179 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11230 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℂ)
19 elfzelz 12213 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
202, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
2120zcnd 11359 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2218, 21addcld 9938 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23 elfzel2 12211 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
243, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
2524zcnd 11359 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
26 elfzelz 12213 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
273, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2827zcnd 11359 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2922, 25, 28addsub12d 10294 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30 ccatlen 13213 . . . . . 6 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
319, 4, 30syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
32 elfzuz 12209 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
332, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
34 eluzfz1 12219 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
36 elfzuz3 12210 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
373, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
38 elfzuz3 12210 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
392, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
40 uztrn 11580 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
4137, 39, 40syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
42 elfzuzb 12207 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
4333, 41, 42sylanbrc 695 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
44 swrdlen 13275 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
451, 35, 43, 44syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
4621subid1d 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
4745, 46eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
4847oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4921, 18addcomd 10117 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 + (#‘𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
5031, 48, 493eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
51 elfzuz2 12217 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
523, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
53 eluzfz2 12220 . . . . . 6 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
55 swrdlen 13275 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
561, 3, 54, 55syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
5750, 56oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)))
5818, 28, 21subsub3d 10301 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹)) = (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
5958oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
6029, 57, 593eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
617, 15, 603eqtrd 2648 1 (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇𝐹))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-splice 13159 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17738  efgtlen  17962
 Copyright terms: Public domain W3C validator