Theorem spllen 13356

Description: The length of a splice. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
spllen	⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Proof of Theorem spllen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 13353	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
8		swrdcl 13271	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 13212	. . . 4 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 13271	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14		ccatlen 13213	. . 3 ⊢ ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴) → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
15	11, 13, 14	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
16		lencl 13179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℂ)
19		elfzelz 12213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
20	2, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 11359	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
22	18, 21	addcld 9938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑅) + 𝐹) ∈ ℂ)
23		elfzel2 12211	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
24	3, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 11359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
26		elfzelz 12213	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝑇 ∈ ℤ)
27	3, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 11359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	addsub12d 10294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
30		ccatlen 13213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
31	9, 4, 30	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
32		elfzuz 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
34		eluzfz1 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
36		elfzuz3 12210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
37	3, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
38		elfzuz3 12210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
40		uztrn 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
41	37, 39, 40	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
42		elfzuzb 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
43	33, 41, 42	sylanbrc 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
44		swrdlen 13275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
45	1, 35, 43, 44	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
46	21	subid1d 10260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
47	45, 46	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
48	47	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
49	21, 18	addcomd 10117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (#‘𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
50	31, 48, 49	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘𝑅) + 𝐹))
51		elfzuz2 12217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
52	3, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
53		eluzfz2 12220	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆)))
55		swrdlen 13275	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
56	1, 3, 54, 55	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = ((#‘𝑆) − 𝑇))
57	50, 56	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((#‘𝑅) + 𝐹) + ((#‘𝑆) − 𝑇)))
58	18, 28, 21	subsub3d 10301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹)) = (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇))
59	58	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))) = ((#‘𝑆) + (((#‘𝑅) + 𝐹) − 𝑇)))
60	29, 57, 59	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) + (#‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))
61	7, 15, 60	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)) = ((#‘𝑆) + ((#‘𝑅) − (𝑇 − 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-splice 13159

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17738  efgtlen  17962