Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv1 13357
 Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
Assertion
Ref Expression
splfv1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem splfv1
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13353 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
76fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8 swrdcl 13271 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13212 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13271 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
15 uzid 11578 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
162, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
17 wrdfin 13178 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Fin)
18 hashcl 13009 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Fin → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
194, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
20 uzaddcl 11620 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (#‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (#‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
2116, 19, 20syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 + (#‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
22 fzoss2 12365 . . . . . 6 ((𝐹 + (#‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
24 splfv1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
2523, 24sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
26 ccatlen 13213 . . . . . . 7 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
279, 4, 26syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
28 elfzuz 12209 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
29 eluzfz1 12219 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
31 fzass4 12250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(#‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆))))
3231bicomi 213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(#‘𝑆))))
3332simplbi 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
342, 3, 33syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
35 swrdlen 13275 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
361, 30, 34, 35syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
372, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
3837zcnd 11359 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
3938subid1d 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
4036, 39eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
4140oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4227, 41eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4342oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
4425, 43eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
45 ccatval1 13214 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
4611, 13, 44, 45syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
4740oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (0..^𝐹))
4824, 47eleqtrrd 2691 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
49 ccatval1 13214 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
509, 4, 48, 49syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
5139oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝐹 − 0)) = (0..^𝐹))
5224, 51eleqtrrd 2691 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0)))
53 swrdfv 13276 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
541, 30, 34, 52, 53syl31anc 1321 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
55 elfzoelz 12339 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℤ)
5655zcnd 11359 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℂ)
5724, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
5857addid1d 10115 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
5958fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 0)) = (𝑆𝑋))
6050, 54, 593eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
617, 46, 603eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-splice 13159 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17738
 Copyright terms: Public domain W3C validator