Theorem uzid 11578

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11258	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 10473	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 572	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 11567	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 246	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  uzn0  11579  uz11  11586  uzinfi  11644  uzsupss  11656  eluzfz1  12219  eluzfz2  12220  elfz3  12222  elfz1end  12242  fzssp1  12255  fzpred  12259  fzp1ss  12262  fzpr  12266  fztp  12267  elfz0add  12307  fzolb  12345  zpnn0elfzo  12407  fzosplitsnm1  12409  fzofzp1  12431  fzosplitsn  12442  fzostep1  12446  om2uzuzi  12610  axdc4uzlem  12644  seqf  12684  seqfveq  12687  seq1p  12697  faclbnd3  12941  bcm1k  12964  bcn2  12968  seqcoll  13105  ccatass  13224  ccatrn  13225  swrds1  13303  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  splfv1  13357  splval2  13359  revccat  13366  rexuz3  13936  r19.2uz  13939  cau3lem  13942  caubnd2  13945  climconst  14122  climuni  14131  isercoll2  14247  climsup  14248  climcau  14249  serf0  14259  iseralt  14263  fsumcvg3  14307  fsumparts  14379  o1fsum  14386  abscvgcvg  14392  isum1p  14412  isumrpcl  14414  isumsup2  14417  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  climcnds  14422  cvgrat  14454  mertenslem1  14455  ntrivcvgn0  14469  fprodabs  14543  binomfallfaclem2  14610  fprodefsum  14664  eftlub  14678  rpnnen2lem11  14792  bitsfzo  14995  bitsinv1  15002  smupval  15048  seq1st  15122  algr0  15123  eucalg  15138  oddprm  15353  pcfac  15441  pcbc  15442  vdwlem6  15528  prmlem0  15650  gsumprval  17104  gsumccat  17201  efginvrel2  17963  efgsres  17974  telgsumfzs  18209  lmconst  20875  lmmo  20994  zfbas  21510  uzrest  21511  iscau2  22883  iscau4  22885  caun0  22887  caussi  22903  equivcau  22906  lmcau  22919  mbfsup  23237  mbfinf  23238  mbflimsup  23239  plyco0  23752  dvply2g  23844  geolim3  23898  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem3  23903  ulm2  23943  ulm0  23949  ulmcaulem  23952  ulmcau  23953  ulmss  23955  ulmcn  23957  ulmdvlem3  23960  ulmdv  23961  abelthlem7  23996  ppinprm  24678  chtnprm  24680  ppiublem1  24727  chtublem  24736  chtub  24737  bposlem6  24814  lgsqr  24876  lgseisenlem4  24903  lgsquadlem1  24905  lgsquad2  24911  pntpbnd1  25075  pntlemf  25094  ostth2lem2  25123  istrkg2ld  25159  axlowdimlem17  25638  3v3e3cycl1  26172  clwwlkvbij  26329  numclwlk2lem2f  26630  fzdif2  28939  esumcvg  29475  dya2ub  29659  dya2icoseg  29666  sseqmw  29780  sseqf  29781  ballotlemfp1  29880  signstfvp  29974  iprodefisumlem  30879  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem9  32588  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem18  32597  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  sdclem1  32709  fdc  32711  seqpo  32713  incsequz2  32715  geomcau  32725  bfplem2  32792  eq0rabdioph  36358  rexrabdioph  36376  jm3.1lem1  36602  dvgrat  37533  rexanuz3  38303  uzfissfz  38483  allbutfi  38557  fmul01lt1lem1  38651  climinf  38673  climsuse  38675  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  iblspltprt  38865  stoweidlem7  38900  wallispilem1  38958  wallispilem4  38961  dirkertrigeqlem1  38991  sge0isum  39320  sge0reuzb  39341  carageniuncllem1  39411  caratheodorylem1  39416  smflimlem1  39657  smflimlem2  39658  smflim  39663  iccpartres  39956  iccelpart  39971  pfxccat1  40273  pfxccatpfx2  40291  clwwlksvbij  41229  av-numclwlk2lem2f  41533  fldivexpfllog2  42157  nnlog2ge0lt1  42158  logbpw2m1  42159  fllog2  42160  blennnelnn  42168  blenpw2  42170  blennnt2  42181  nnolog2flm1  42182  dig2nn0ld  42196  dig2nn1st  42197  0dig2pr01  42202  aacllem  42356