Theorem uzinfi 11644

Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
uzinfi	⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinfi.1	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
2		ltso 9997	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4		zre 11258	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		uzid 11578	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluz2 11569	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	7, 9	lenltd 10062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
11	10	biimp3a 1424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
12	11	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
13	6, 12	sylbi 206	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
14	13	impcom 445	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
15	3, 4, 5, 14	infmin 8283	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ inf((ℤ≥‘𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   Or wor 4958  ‘cfv 5804  infcinf 8230  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  nninf  11645  nn0inf  11646