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Theorem numclwlk2lem2f 26630
 Description: R is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlk.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶,𝑥   𝑥,𝐸   𝑤,𝑁,𝑥   𝑥,𝑉   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑄   𝑤,𝐺   𝑥,𝑋   𝑣,𝐸   𝑥,𝐻   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 2nn0 11186 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
41, 3nn0addcld 11232 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
54anim2i 591 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ0))
653adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ0))
7 numclwwlk.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
8 numclwwlk.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
9 numclwwlk.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
10 numclwwlk.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
11 numclwwlk.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
127, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 26628 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ0) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
1312eleq2d 2673 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
146, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
15 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
1615eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
17 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
1817, 15neeq12d 2843 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
1916, 18anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
2019elrab 3331 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
2114, 20syl6bb 275 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
2243ad2ant3 1077 . . . . . . . 8 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
237numclwwlkfvc 26604 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 → (𝐶‘(𝑁 + 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)))
2423eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2))))
2522, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2))))
2625anbi1d 737 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
27 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
28 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
29 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
3128, 30zaddcld 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
32 uzid 11578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 2)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 2)))
34 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3634, 35, 35addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
3938oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4036, 39eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4140fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 2)))
4233, 41eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1)))
4327, 42jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
44433ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
4544adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
46 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)))
47 wwlksubclwwlk 26332 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘((𝑁 + 1) − 1))))
4845, 46, 47sylc 63 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘((𝑁 + 1) − 1)))
49 pncan1 10333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
5049eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
5251fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) = ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘((𝑁 + 1) − 1)))
5352eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘((𝑁 + 1) − 1))))
54533ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘((𝑁 + 1) − 1))))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘((𝑁 + 1) − 1))))
5648, 55mpbird 246 . . . . . . . 8 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
57 clwwlknprop 26300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))))
58 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
59 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
60 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
62 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6362lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
64 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
651, 61, 63, 64syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
66 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
67 addsubass 10170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
68 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (2 − 1) = 1
6968oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
7067, 69syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
7134, 66, 35, 70syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
7271oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
7365, 72eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
74 elfzp1b 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7528, 31, 74syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7673, 75mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
78 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(#‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
7978eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
8079ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
8177, 80mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥)))
82 swrd0fv0 13292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
8359, 81, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
8483ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0)))
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0)))
8685impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
8786ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
88 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
8987, 88eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋)
90 swrd0fvlsw 13295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
9159, 81, 90syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
9234, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9334, 66pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
9492, 93eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
9594fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
9791, 96eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
9897ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
10099impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
101100neeq1d 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
102101biimpcd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
104103impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0))
106 neeq2 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 = (𝑥‘0) → (( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
107106eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥‘0) = 𝑋 → (( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
109105, 108mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)
11089, 109jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
11158, 110mpancom 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
112111exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
113112com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
114113ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))))
116115impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
1171163adant1 1072 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
11857, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
119118imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
120119com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
1211203adant1 1072 . . . . . . . . 9 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
122121imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
12356, 122jca 553 . . . . . . 7 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
124123ex 449 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
12526, 124sylbid 229 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
12621, 125sylbid 229 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
127126imp 444 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
1281anim2i 591 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
1291283adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
130129adantr 480 . . . . . 6 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
1317, 8, 9, 10numclwwlkovq 26626 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
132130, 131syl 17 . . . . 5 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
133132eleq2d 2673 . . . 4 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
134 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
135134eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋))
136 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
137136neeq1d 2841 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
138135, 137anbi12d 743 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
139138elrab 3331 . . . 4 ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
140133, 139syl6bb 275 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
141127, 140mpbird 246 . 2 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
142 numclwwlk.r . 2 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
143141, 142fmptd 6292 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  26632
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