Theorem ulm0 23949

Description: Every function converges uniformly on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulm0.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulm0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ulm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulm0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ulm0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Proof of Theorem ulm0

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulm0.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 11578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		ulm0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	syl6eleqr 2699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ne0i 3880	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑍 → 𝑍 ≠ ∅)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑍 ≠ ∅)
9		ral0 4028	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥
10		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 = ∅)
11	10	raleqdv 3121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
12	9, 11	mpbiri 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
13	12	ralrimivw 2950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
14	13	ralrimivw 2950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
15		r19.2z 4012	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ≠ ∅ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
16	8, 14, 15	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
17	16	ralrimivw 2950	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)
18	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		ulm0.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
21		eqidd 2611	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
22		eqidd 2611	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
23		ulm0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
25		0ex 4718	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
26	10, 25	syl6eqel 2696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ V)
27	4, 18, 20, 21, 22, 24, 26	ulm2 23943	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
28	17, 27	mpbird 246	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ∅) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813   < clt 9953   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822  ⇝_𝑢culm 23934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-ulm 23935

This theorem is referenced by:  pserulm  23980