MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz 11577
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 11567 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
21baibd 946 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  cle 9954  cz 11254  cuz 11563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564
This theorem is referenced by:  uzneg  11582  uztric  11585  uzwo3  11659  fzn  12228  fzsplit2  12237  fznn  12278  uzsplit  12281  elfz2nn0  12300  fzouzsplit  12372  faclbnd  12939  bcval5  12967  fz1isolem  13102  seqcoll  13105  rexuzre  13940  caurcvg  14255  caucvg  14257  summolem2a  14293  fsum0diaglem  14350  climcnds  14422  mertenslem1  14455  ntrivcvgmullem  14472  prodmolem2a  14503  ruclem10  14807  eulerthlem2  15325  pcpremul  15386  pcdvdsb  15411  pcadd  15431  pcfac  15441  pcbc  15442  prmunb  15456  prmreclem5  15462  vdwnnlem3  15539  lt6abl  18119  ovolunlem1a  23071  mbflimsup  23239  plyco0  23752  plyeq0lem  23770  aannenlem1  23887  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem8  23904  chtublem  24736  bcmax  24803  bpos1lem  24807  bposlem1  24809  axlowdimlem16  25637  extwwlkfablem2  26605  fzsplit3  28940  ballotlem2  29877  ballotlemimin  29894  elfzm12  30823  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem28  32607  mblfinlem2  32617  incsequz  32714  incsequz2  32715  nacsfix  36293  ellz1  36348  eluzrabdioph  36388  monotuz  36524  expdiophlem1  36606  nznngen  37537  fzisoeu  38455  fmul01  38647  climsuselem1  38674  climsuse  38675  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  wallispilem5  38962  stirlinglem8  38974  dirkertrigeqlem1  38991  fourierdlem12  39012  ssfz12  40351
  Copyright terms: Public domain W3C validator