Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eluzrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzrabdioph 36388
 Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eluzrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝑡,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem eluzrabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 36383 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2 eluz 11577 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴))
32ex 449 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴)))
43ralimdv 2946 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴)))
54imp 444 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴))
61, 5sylan2 490 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴))
7 rabbi 3097 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴})
86, 7sylib 207 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴})
983adant1 1072 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴})
10 ovex 6577 . . . 4 (1...𝑁) ∈ V
11 mzpconstmpt 36321 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
1210, 11mpan 702 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13 lerabdioph 36387 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
1412, 13syl3an2 1352 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
159, 14eqeltrd 2688 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  1c1 9816   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  mzPolycmzp 36303  Diophcdioph 36336 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305  df-dioph 36337 This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  36389  rmydioph  36599  expdiophlem2  36607
 Copyright terms: Public domain W3C validator