Theorem climcnds 14422

Description: The Cauchy condensation test. If 𝑎(𝑘) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then Σ𝑘 ∈ ℕ𝑎(𝑘) converges iff Σ𝑛 ∈ ℕ₀2↑𝑛 · 𝑎(2↑𝑛) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcnds.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
climcnds.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climcnds.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
climcnds	⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcnds

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3		1zzd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		nnnn0 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5		climcnds.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6		2nn 11062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
10	9	nnred 10912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
11		climcnds.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
15	14	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
16	15	rspcv 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
17	9, 13, 16	sylc 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
18	10, 17	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
19	5, 18	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
20	4, 19	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
21	1, 3, 20	serfre 12692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
23		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
24	23, 1	syl6eleq 2698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
25		nnz 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
27		uzid 11578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
28		peano2uz 11617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
30		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
31		elfznn 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
32	30, 31, 20	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
33		simpll 786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
34		elfz1eq 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
36		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
37		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
39	38	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
40	35, 39	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	9	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
42	41	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2↑𝑛))
43		climcnds.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
44	43	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
46	14	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (2↑𝑛) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
47	46	rspcv 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑛) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ 0 ≤ (𝐹‘𝑘) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛))))
48	9, 45, 47	sylc 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐹‘(2↑𝑛)))
49	10, 17, 42, 48	mulge0d 10483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
50	49, 5	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑛))
51	33, 40, 50	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐺‘𝑛))
52	24, 29, 32, 51	sermono 12695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
53	52	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
54		2re 10967	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
55		eqidd 2611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
56	11	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
58	1, 2, 55, 56, 57	isumrecl 14338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
59		remulcl 9900	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
60	54, 58, 59	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
61	22	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
62	1, 3, 11	serfre 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
63	62	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
64	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
65		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
66	6, 64, 65	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
67	63, 66	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
68		remulcl 9900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
69	54, 67, 68	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
70	60	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
71		climcnds.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
72	11, 43, 71, 5	climcndslem2 14421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
73	72	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))))
74		eqidd 2611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
75	66, 1	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ (ℤ≥‘1))
76		simpll 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
77		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
78	11	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
79	76, 77, 78	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
80	74, 75, 79	fsumser 14308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)))
81		1zzd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
82		fzfid 12634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
83	77	ssriv 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...(2↑𝑗)) ⊆ ℕ)
85		eqidd 2611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
86	56	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
87	76, 43	sylan 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
88		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
89	1, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88	isumless 14416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2↑𝑗))(𝐹‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))
90	80, 89	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))
91	58	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
92	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
93		2pos 10989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 < 2)
95		lemul2 10755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))))
96	67, 91, 92, 94, 95	syl112anc 1322	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ↔ (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))))
97	90, 96	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · (seq1( + , 𝐹)‘(2↑𝑗))) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)))
98	61, 69, 70, 73, 97	letrd 10073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)))
99	98	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)))
100		breq2 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) → ((seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))))
101	100	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) → (∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))))
102	101	rspcev 3282	. . . . . 6 ⊢ (((2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ (2 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
103	60, 99, 102	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ 𝑥)
104	1, 2, 22, 53, 103	climsup 14248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ))
105		climrel 14071	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
106	105	releldmi 5283	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝐺) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐺), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
107	104, 106	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
108		nn0uz 11598	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
109		1nn0 11185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
110	109	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111	19	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
112	108, 110, 111	iserex 14235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
113	112	biimpar 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
114	107, 113	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
115		1zzd 11285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
116	62	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
117		elfznn 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118	30, 117, 11	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑗 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
119		simpll 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝜑)
120		peano2nn 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
121	120	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
122		elfz1eq 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
123		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℕ))
124	123	biimparc 503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
125	121, 122, 124	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
126	119, 125, 43	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
127	24, 29, 118, 126	sermono 12695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
128	127	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
129		0zd 11266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → 0 ∈ ℤ)
130		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
131	19	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
132		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
133	108, 129, 130, 131, 132	isumrecl 14338	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
134	116	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
135		0zd 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
136	108, 135, 19	serfre 12692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
137	136	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
138		ffvelrn 6265	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
139	137, 36, 138	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
140	133	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
141	116	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
142		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
143	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
144	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
145	144	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
146		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
147	6, 144, 146	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
148	147	nnred 10912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
149		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
150		uzid 11578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
152		bernneq3 12854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
153	151, 144, 152	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
154	145, 148, 153	ltled 10064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
155	143	peano2zd 11361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
156	147	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
157		eluz 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
158	155, 156, 157	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)) ↔ (𝑗 + 1) ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
159	154, 158	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
160		eluzp1m1 11587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
161	143, 159, 160	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
162		eluznn 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
163	142, 161, 162	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
164	141, 163	ffvelrnd 6268	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
165	24	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
166		simpll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝜑)
167		elfznn 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
168	166, 167, 11	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
169	166	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝜑)
170	120	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
171		elfzuz 12209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1)))
172		eluznn 11634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
173	170, 171, 172	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
174	169, 173, 43	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
175	165, 161, 168, 174	sermono 12695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
176	36	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
177	11, 43, 71, 5	climcndslem1 14420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
178	166, 176, 177	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
179	134, 164, 139, 175, 178	letrd 10073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
180		eqidd 2611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
181	176, 108	syl6eleq 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
182		elfznn0 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ0)
183	166, 182, 111	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑗)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
184	180, 181, 183	fsumser 14308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺‘𝑛) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
185		0zd 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
186		fzfid 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ∈ Fin)
187	182	ssriv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝑗) ⊆ ℕ0
188	187	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (0...𝑗) ⊆ ℕ0)
189		eqidd 2611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
190	166, 19	sylan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
191	166, 50	sylan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑛))
192		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
193	108, 185, 186, 188, 189, 190, 191, 192	isumless 14416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑗)(𝐺‘𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
194	184, 193	eqbrtrrd 4607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
195	134, 139, 140, 179, 194	letrd 10073	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
196	195	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛))
197		breq2 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛)))
198	197	ralbidv 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) → (∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛)))
199	198	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺‘𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
200	133, 196, 199	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ 𝑥)
201	1, 115, 116, 128, 200	climsup 14248	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
202	105	releldmi 5283	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ⇝ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
203	201, 202	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
204	114, 203	impbida 873	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ↑cexp 12722   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  harmonic  14430  zetacvg  24541