Theorem peano2nn0 11210

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11185	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 11205	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  nn0split  12323  fzonn0p1p1  12413  elfzom1p1elfzo  12414  leexp2r  12780  expnbnd  12855  facdiv  12936  facwordi  12938  faclbnd  12939  faclbnd2  12940  faclbnd3  12941  faclbnd6  12948  bcnp1n  12963  bcp1m1  12969  bcpasc  12970  hashfz  13074  hashf1  13098  brfi1indlem  13133  fi1uzind  13134  brfi1indALT  13137  fi1uzindOLD  13140  brfi1indALTOLD  13143  swrds2  13533  iseraltlem2  14261  bcxmas  14406  climcndslem1  14420  climcnds  14422  geolim  14440  geo2sum  14443  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  mertens  14457  risefacp1  14599  fallfacp1  14600  binomfallfaclem1  14609  binomfallfaclem2  14610  fsumkthpow  14626  efcllem  14647  eftlub  14678  efsep  14679  effsumlt  14680  ruclem9  14806  nn0ob  14938  nn0oddm1d2  14939  pwp1fsum  14952  bitsp1  14991  sadcp1  15015  smuval2  15042  smu01lem  15045  smup1  15049  nn0seqcvgd  15121  algcvg  15127  nonsq  15305  iserodd  15378  pcprendvds  15383  pcpremul  15386  pcdvdsb  15411  4sqlem11  15497  vdwapun  15516  vdwlem1  15523  vdwlem9  15531  ramub1  15570  ramcl  15571  prmop1  15580  decexp2  15617  sylow1lem3  17838  efgsfo  17975  efgred  17984  telgsums  18213  telgsum  18214  srgbinomlem3  18365  srgbinomlem4  18366  assamulgscmlem2  19170  chfacffsupp  20480  chfacfscmulfsupp  20483  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulfsupp  20487  chfacfpmmulgsum  20488  cpnord  23504  ply1divex  23700  fta1glem1  23729  fta1glem2  23730  fta1g  23731  plyco0  23752  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  plyco  23801  dvply1  23843  dvply2g  23844  aaliou3lem8  23904  aaliou3lem9  23909  dvtaylp  23928  dvradcnv  23979  pserdvlem2  23986  advlogexp  24201  atantayl3  24466  leibpi  24469  log2cnv  24471  ftalem4  24602  ftalem5  24603  perfectlem1  24754  bcp1ctr  24804  2lgslem3d1  24928  dchrisum0flblem1  24997  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  wwlknred  26251  wwlknext  26252  wwlknextbi  26253  wwlknredwwlkn  26254  wwlknredwwlkn0  26255  wwlknfi  26266  wwlkextproplem2  26270  wwlkextproplem3  26271  clwwlkf  26322  clwlkfclwwlk1hash  26369  rusgranumwlks  26483  eupap1  26503  eupath2lem3  26506  eupath2  26507  extwwlkfablem2  26605  numclwwlkovf2ex  26613  numclwlk2lem2f  26630  nndiffz1  28936  subfacval2  30423  erdsze2lem1  30439  bccolsum  30878  fwddifnp1  31442  knoppndvlem6  31678  poimirlem17  32596  heiborlem3  32782  heiborlem4  32783  heiborlem6  32785  2rexfrabdioph  36378  elnn0rabdioph  36385  dvdsrabdioph  36392  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  expdiophlem1  36606  expdiophlem2  36607  hbt  36719  cotrclrcl  37053  k0004ss3  37471  bccp1k  37562  binomcxplemnn0  37570  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnmul  38833  stoweidlem17  38910  wallispilem1  38958  stirlinglem5  38971  etransclem23  39150  etransclem46  39173  etransclem48  39175  fmtnoge3  39980  fmtnorec1  39987  sqrtpwpw2p  39988  fmtnosqrt  39989  fmtnorec2lem  39992  fmtnorec3  39998  fmtnoprmfac1  40015  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtnofac1  40020  pwdif  40039  flsqrt  40046  perfectALTVlem1  40164  pfxccatpfx2  40291  pfxccat3a  40292  crctcsh1wlkn0lem7  41019  wwlksnred  41098  wwlksnext  41099  wwlksnextbi  41100  wwlksnredwwlkn  41101  wwlksnredwwlkn0  41102  wwlksnfi  41112  wwlksnextproplem1  41115  wwlksnextproplem2  41116  wwlksnextproplem3  41117  rusgrnumwwlks  41177  clwwlksf  41222  eupth2lems  41406  eucrct2eupth  41413  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwlk2lem2f  41533  nn0eo  42116  fllog2  42160  dignnld  42195  0dig2nn0o  42205  dignn0ehalf  42209  dignn0flhalf  42210  nn0sumshdiglemA  42211  aacllem  42356