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Theorem ramcl 15571

Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ramcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀)

Proof of Theorem ramcl Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 11175	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ∈ V
2		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3		elmapg 7757	. . . 4 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀))
4	1, 2, 3	sylancr 694	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀))
5		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
6	5	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
7	6	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
8	7	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
9		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
10	9	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
11	10	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
12	11	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
13		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
14	13	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
15	14	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
16	15	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
17		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
18	17	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
19	18	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
20	19	imbi2d 329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
21		elmapi 7765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
22		0ramcl 15565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
23	21, 22	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
24	23	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
25		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
26	25	eleq1d 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀))
27	26	cbvralv 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
28		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → 𝑅 ∈ Fin)
29	21	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
30	29	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀)
31	28, 30	fsumnn0cl 14314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀)
32		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
33	32	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)))
34	33	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
35	34	albidv 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
36	35	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
37		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛))
38	37	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛)))
39	38	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
40	39	albidv 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
41	40	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
42		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
43	42	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
44	43	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
45	44	albidv 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
46	45	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
47		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)))
48	47	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
49	48	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
50	49	albidv 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
51	50	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
52		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → 𝑅 ∈ Fin)
53		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ₀)
54	53	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℝ)
56	54	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → 0 ≤ (ℎ‘𝑘))
57	52, 55, 56	fsum00 14371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
58		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ‘𝑘) ∈ V
59	58	rgenw 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V
60		mpteqb 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)
62	57, 61	syl6bbr 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
63		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ℎ:𝑅⟶ℕ₀)
64	63	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ℎ = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)))
65		fconstmpt 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0))
67	64, 66	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (ℎ = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
68	62, 67	bitr4d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ℎ = (𝑅 × {0})))
69		xpeq1 5052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70		0xp 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
71	69, 70	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
72	71	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
74		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
76		ram0 15564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
78	72, 77	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
79	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
80	78, 79	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
81	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
82		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84		ramz 15567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86		0nn0 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
87	85, 86	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
88	80, 87	pm2.61dane 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
89		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
90	89	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀))
91	88, 90	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
92	68, 91	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
93	92	expimpd 627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
94	93	alrimiv 1842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
95		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → 𝑓 Fn 𝑅)
96	95	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97		ffnfv 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
98	97	baib 942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
99	96, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
100		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
101	100	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
102	101, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
103		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105		nnssnn0 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
106		fss 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ₀) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
107	104, 105, 106	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
108	101	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℂ
110		pncan 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111	108, 109, 110	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112	111	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
113	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
114		mptexg 6389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
116		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
117	104	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
118		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
121	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
122	121	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ₀)
123	120, 122	ifcld 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
124		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))
125	123, 124	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀)
126		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
127		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
128		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
129	128	3ad2antl2 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℂ)
131	130	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑘) − 0) = (𝑓‘𝑘))
132	131	ifeq2d 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)))
133		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
135	134	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑓‘𝑥) − 1))
136	135	ifeq1da 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
137	132, 136	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)))
138		ovif2 6636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0))
139	137, 138	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
140	139	sumeq2dv 14281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
141		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
142		0cn 9911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ 0 ∈ ℂ
143	109, 142	keepel 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
145	141, 130, 144	fsumsub 14362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
146		elsng 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
147	146	ifbid 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
148	147	sumeq2i 14277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
149		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
150	149	snssd 4281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
151		sumhash 15438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (#‘{𝑥}))
152	141, 150, 151	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (#‘{𝑥}))
153		hashsng 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 → (#‘{𝑥}) = 1)
154	149, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (#‘{𝑥}) = 1)
155	152, 154	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
156	148, 155	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
157	156	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
158	140, 145, 157	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
159	113, 126, 127, 158	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
160		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))
161	160	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
162		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
163	162	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
164	163	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
165		pncan 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
166	164, 109, 165	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
167	159, 161, 166	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)
168	125, 167	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
169		feq1 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀))
170		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ‘𝑘) = ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘))
171		equequ1 1939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑘 = 𝑥))
172		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑘))
173	171, 172	ifbieq2d 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
174		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ V
175		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
176	174, 175	ifex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) ∈ V
177	173, 124, 176	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
178	170, 177	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
179	178	sumeq2dv 14281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
180	179	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
181	169, 180	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)))
182		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
183	182	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀))
184	181, 183	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)))
185	184	spcgv 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)))
186	115, 116, 168, 185	syl3c 64	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)
187		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
188	186, 187	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀)
189		elmapg 7757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀))
190	1, 103, 189	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀))
191	188, 190	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅))
192		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
193	192	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
194		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
195	194	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀))
196	195	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀))
197	191, 193, 196	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀)
198	112, 197	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀)
199		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀ → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀)
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀)
201		nn0p1nn 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
202	100, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
203	202	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
204		equequ1 1939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑥))
205		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
206	204, 205	ifbieq2d 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
207	206	cbvmptv 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
208		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑧))
209		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
210	209	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) − 1) = ((𝑓‘𝑧) − 1))
211	208, 210	ifbieq1d 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))
212	211	mpteq2dv 4673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
213	207, 212	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
214	213	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
215	214	cbvmptv 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑧 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
216	203, 103, 104, 215, 188, 198	ramub1 15570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))
217		ramubcl 15560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
218	102, 103, 107, 200, 216, 217	syl32anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
219	218	expr 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
220	219	adantrl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
221	99, 220	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
222		rexnal 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
223		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
224	223	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
225		elnn0 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
226	224, 225	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
227	226	ord 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → (𝑓‘𝑥) = 0))
228	202	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
229		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
230	228, 229, 223	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
231		ramz2 15566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
232	230, 231	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
233	232, 86	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
234	233	expr 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
235	227, 234	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
236	235	rexlimdva 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
237	222, 236	syl5bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
238	221, 237	pm2.61d 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
239	238	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
240	239	alrimdv 1844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
241		feq1 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
242		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
243	242	sumeq2sdv 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))
244	243	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
245	241, 244	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
246		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
247	246	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
248	245, 247	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
249	248	cbvalv 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
250	240, 249	syl6ibr 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
251	250	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
252	251	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
253	252	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
254	36, 41, 46, 51, 94, 253	nn0ind 11348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
255	254	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
256	255	adantrl 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
257	31, 256	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
258	243	biantrud 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
259	258, 241	bitr3d 269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
260	259, 247	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
261	260	spv 2248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
262	257, 29, 261	sylc 63	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
263	262	expr 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
264	263	ralrimdva 2952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
265	27, 264	syl5bi 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
266	265	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
267	266	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
268	8, 12, 16, 20, 24, 267	nn0ind 11348	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
269	268	imp 444	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
270		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
271	270	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
272	271	rspccv 3279	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
273	269, 272	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
274	4, 273	sylbird 249	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ₀ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
275	274	3impia 1253	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 ∀wal 1473 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 Vcvv 3173 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 ifcif 4036 {csn 4125 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 × cxp 5036 Fn wfn 5799 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↑_𝑚 cmap 7744 Fincfn 7841 ℂcc 9813 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 ℕ₀cn0 11169 #chash 12979 Σcsu 14264 Ramsey cram 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-seq 12664 df-exp 12723 df-fac 12923 df-bc 12952 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265 df-ram 15543

This theorem is referenced by: ramsey 15572

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