MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem feq1 5939
Description: Equality theorem for functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
feq1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐴𝐵))

Proof of Theorem feq1
StepHypRef Expression
1 fneq1 5893 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴))
2 rneq 5272 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ran 𝐹 = ran 𝐺)
32sseq1d 3595 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐺𝐵))
41, 3anbi12d 743 . 2 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵) ↔ (𝐺 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐺𝐵)))
5 df-f 5808 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
6 df-f 5808 . 2 (𝐺:𝐴𝐵 ↔ (𝐺 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐺𝐵))
74, 5, 63bitr4g 302 1 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wss 3540  ran crn 5039   Fn wfn 5799  wf 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808
This theorem is referenced by:  feq1d  5943  feq1i  5949  elimf  5957  f00  6000  f0bi  6001  f0dom0  6002  fconstg  6005  f1eq1  6009  fconst2g  6373  fsnex  6438  elmapg  7757  ac6sfi  8089  ac5num  8742  acni2  8752  cofsmo  8974  cfsmolem  8975  cfcoflem  8977  coftr  8978  alephsing  8981  axdc2lem  9153  axdc3lem2  9156  axdc3lem3  9157  axdc3  9159  axdc4lem  9160  ac6num  9184  inar1  9476  axdc4uzlem  12644  seqf1olem2  12703  seqf1o  12704  iswrd  13162  cshf1  13407  wrdlen2i  13534  ramub2  15556  ramcl  15571  isacs2  16137  isacs1i  16141  mreacs  16142  mgmb1mgm1  17077  isgrpinv  17295  isghm  17483  islindf  19970  mat1dimelbas  20096  1stcfb  21058  upxp  21236  txcn  21239  isi1f  23247  mbfi1fseqlem6  23293  mbfi1flimlem  23295  itg2addlem  23331  plyf  23758  wlkelwrd  26058  iseupa  26492  isgrpo  26735  vciOLD  26800  isvclem  26816  isnvlem  26849  ajmoi  27098  ajval  27101  hlimi  27429  chlimi  27475  chcompl  27483  adjmo  28075  adjeu  28132  adjval  28133  adj1  28176  adjeq  28178  cnlnssadj  28323  pjinvari  28434  padct  28885  locfinref  29236  isrnmeas  29590  fprb  30916  orderseqlem  30993  soseq  30995  elno  31043  filnetlem4  31546  bj-finsumval0  32324  poimirlem25  32604  poimirlem28  32607  volsupnfl  32624  mbfresfi  32626  upixp  32694  sdclem2  32708  sdclem1  32709  fdc  32711  ismgmOLD  32819  elghomlem2OLD  32855  istendo  35066  ismrc  36282  fmuldfeqlem1  38649  fmuldfeq  38650  dvnprodlem1  38836  stoweidlem15  38908  stoweidlem16  38909  stoweidlem17  38910  stoweidlem19  38912  stoweidlem20  38913  stoweidlem21  38914  stoweidlem22  38915  stoweidlem23  38916  stoweidlem27  38920  stoweidlem31  38924  stoweidlem32  38925  stoweidlem42  38935  stoweidlem48  38941  stoweidlem51  38944  stoweidlem59  38952  isomenndlem  39420  griedg0prc  40488  lincdifsn  42007
  Copyright terms: Public domain W3C validator