MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlen2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdlen2i 13534
Description: Implications of a word of length 2. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlen2i ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i
StepHypRef Expression
1 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
2 1ex 9914 . . . . . . 7 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 simpl 472 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆𝑉𝑇𝑉))
5 0ne1 10965 . . . . . . 7 0 ≠ 1
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7 fprg 6327 . . . . . 6 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
83, 4, 6, 7mp3an2i 1421 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9 fzo0to2pr 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^2) = {0, 1}
109eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} = (0..^2)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
1211feq2d 5944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
1312biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14 prssi 4293 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
1613, 15fssd 5970 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
1716ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
1817adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
1918impcom 445 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20 feq1 5939 . . . . . . . 8 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
2120adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
2221adantl 481 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
2319, 22mpbird 246 . . . . 5 (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
248, 23mpancom 700 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25 iswrdi 13164 . . . 4 (𝑊:(0..^2)⟶𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉)
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27 fveq2 6103 . . . 4 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (#‘𝑊) = (#‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
285neii 2784 . . . . . . 7 ¬ 0 = 1
29 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑆𝑉)
30 opth1g 4873 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ 𝑆𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
311, 29, 30sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
3228, 31mtoi 189 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
3332neqned 2789 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34 opex 4859 . . . . . . 7 ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35 opex 4859 . . . . . . 7 ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
3634, 35pm3.2i 470 . . . . . 6 (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37 hashprg 13043 . . . . . 6 ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (#‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (#‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
3933, 38mpbid 221 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (#‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
4027, 39sylan9eqr 2666 . . 3 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (#‘𝑊) = 2)
415a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → 0 ≠ 1)
42 fvpr1g 6363 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 𝑆𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
431, 29, 41, 42mp3an2i 1421 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑇𝑉)
45 fvpr2g 6364 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 𝑇𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
462, 44, 41, 45mp3an2i 1421 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
4743, 46jca 553 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
4847adantr 480 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
5049eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
5251eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
5350, 52anbi12d 743 . . . . 5 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
5453adantl 481 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
5548, 54mpbird 246 . . 3 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
5626, 40, 55jca31 555 . 2 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
5756ex 449 1 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  wss 3540  {cpr 4127  cop 4131  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154
This theorem is referenced by:  wrdlen2  13536  wwlktovfo  13549
  Copyright terms: Public domain W3C validator