MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feq1 Structured version   Unicode version

Theorem feq1 5703
Description: Equality theorem for functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
feq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )

Proof of Theorem feq1
StepHypRef Expression
1 fneq1 5659 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F  Fn  A  <->  G  Fn  A ) )
2 rneq 5218 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  ran  F  =  ran  G )
32sseq1d 3516 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( ran  F  C_  B  <->  ran  G  C_  B ) )
41, 3anbi12d 710 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B
)  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) ) )
5 df-f 5582 . 2  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
6 df-f 5582 . 2  |-  ( G : A --> B  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )
74, 5, 63bitr4g 288 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    C_ wss 3461   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-opab 4496  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582
This theorem is referenced by:  feq1d  5707  feq1i  5713  elimf  5720  f00  5757  f0bi  5758  f0dom0  5759  fconstg  5762  f1eq1  5766  fconst2g  6110  fconstfvOLD  6119  elmapg  7435  ac6sfi  7766  ac5num  8420  acni2  8430  cofsmo  8652  cfsmolem  8653  cfcoflem  8655  coftr  8656  alephsing  8659  axdc2lem  8831  axdc3lem2  8834  axdc3lem3  8835  axdc3  8837  axdc4lem  8838  ac6num  8862  inar1  9156  1fv  11802  axdc4uzlem  12073  seqf1olem2  12128  seqf1o  12129  iswrd  12531  wrdlen2i  12865  ramub2  14513  ramcl  14528  isacs2  15031  isacs1i  15035  mreacs  15036  mgmb1mgm1  15861  isgrpinv  16078  isghm  16245  islindf  18824  mat1dimelbas  18950  1stcfb  19923  upxp  20101  txcn  20104  isi1f  22058  mbfi1fseqlem6  22104  mbfi1flimlem  22106  itg2addlem  22142  plyf  22572  wlkelwrd  24506  iseupa  24941  isgrpo  25174  ismgmOLD  25298  elghomlem2OLD  25340  vci  25417  isvclem  25446  isnvlem  25479  ajmoi  25750  ajval  25753  hlimi  26081  chlimi  26128  chcompl  26136  adjmo  26727  adjeu  26784  adjval  26785  adj1  26828  adjeq  26830  cnlnssadj  26975  pjinvari  27086  locfinref  27821  isrnmeas  28148  fprb  29178  orderseqlem  29307  soseq  29309  elno  29381  volsupnfl  30034  mbfresfi  30036  filnetlem4  30174  upixp  30195  sdclem2  30210  sdclem1  30211  fdc  30213  ismrc  30608  fmuldfeqlem1  31504  fmuldfeq  31505  stoweidlem15  31686  stoweidlem16  31687  stoweidlem17  31688  stoweidlem19  31690  stoweidlem20  31691  stoweidlem21  31692  stoweidlem22  31693  stoweidlem23  31694  stoweidlem27  31698  stoweidlem31  31702  stoweidlem32  31703  stoweidlem42  31713  stoweidlem48  31719  stoweidlem51  31722  stoweidlem59  31730  lincdifsn  32760  bj-finsumval0  34403  istendo  36226
  Copyright terms: Public domain W3C validator