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Theorem inar1 9476
Description: (𝑅1𝐴) for 𝐴 a strongly inaccessible cardinal is equipotent to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9391 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
2 winaon 9389 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ On)
4 winalim 9396 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → Lim 𝐴)
6 r1lim 8518 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
73, 5, 6syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
8 onelon 5665 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
93, 8sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
11 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
1211breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
1310, 12imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴)))
14 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
15 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
1615breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1714, 16imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)))
18 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
19 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2019breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
2118, 20imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
22 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
23 0sdomg 7974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2422, 23syl5ibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
25 r10 8514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅1‘∅) = ∅
2625breq1i 4590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅1‘∅) ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴)
2724, 26syl6ibr 241 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
281, 2, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Inacc → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
29 eloni 5650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
30 ordtr 5654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → Tr 𝐴)
32 trsuc 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3332ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (Tr 𝐴 → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
343, 31, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Inacc → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
36 r1suc 8516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
37 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅1𝑦) ∈ V
3837cardid 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘(𝑅1𝑦)) ≈ (𝑅1𝑦)
3938ensymi 7892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦))
40 pwen 8018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦))
4236, 41syl6eqbr 4622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
43 winacard 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
4443eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
45 cardsdom 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅1𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4637, 2, 45sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4744, 46bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
49 elina 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴))
5049simp3bi 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴)
51 pweq 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
5251breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝒫 𝑧𝐴 ↔ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5352rspccv 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴 → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5548, 54sylbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5655imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴)
57 ensdomtr 7981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5842, 56, 57syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5958expr 641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
6035, 59imim12d 79 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
6160ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))))
62 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
63 r1lim 8518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
6462, 63mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
65 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑧
66 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦(𝑅1𝑧)
67 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦
68 nfiu1 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
6966, 67, 68nfbr 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦(𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
70 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1𝑧))
7170breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
72 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
7362, 72iunex 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
74 ssiun2 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
75 ssdomg 7887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V → ((card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
7673, 74, 75mpsyl 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
77 endomtr 7900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7839, 76, 77sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑥 → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8079rgen 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
81 iundom 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
8262, 80, 81mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8362, 73unex 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V
84 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
85 ssdomg 7887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8683, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8762xpdom2 7940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
89 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
90 ssdomg 7887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9183, 89, 90mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
9283xpdom1 7944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
94 domtr 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9588, 93, 94mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
96 limomss 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → ω ⊆ 𝑥)
9796, 89syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim 𝑥 → ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
98 ssdomg 7887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9983, 97, 98mpsyl 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Lim 𝑥 → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
100 infxpidm 9263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
102 domentr 7901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10395, 101, 102sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
104 domtr 7895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10582, 103, 104sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10664, 105eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
107106ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
108 eleq1a 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐴))
109 ordirr 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1103, 29, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴𝐴)
111108, 110nsyli 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴 = 𝑥))
112111imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Inacc) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
113112ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
114 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
115 limord 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
11662elon 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
117115, 116sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
118117ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥 ∈ On)
119 cardf 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 card:V⟶On
120 r1fnon 8513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑅1 Fn On
121 dffn2 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅1 Fn On ↔ 𝑅1:On⟶V)
122120, 121mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑅1:On⟶V
123 fco 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((card:V⟶On ∧ 𝑅1:On⟶V) → (card ∘ 𝑅1):On⟶On)
124119, 122, 123mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (card ∘ 𝑅1):On⟶On
125 onss 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
126 fssres 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((card ∘ 𝑅1):On⟶On ∧ 𝑥 ⊆ On) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
127124, 125, 126sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
128 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
129118, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
1303ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐴 ∈ On)
131 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
132 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)
133 ontr1 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
134133imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦𝑥𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
135130, 131, 132, 134syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
13637, 130, 45sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1371, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐴 ∈ Inacc → (card‘𝐴) = 𝐴)
138137ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (card‘𝐴) = 𝐴)
139138eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
140136, 139bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
141140biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
142135, 141embantd 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
143117ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → 𝑥 ∈ On)
144 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦𝑥 → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
145144adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
146 onelon 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
147 fvco3 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅1:On⟶V ∧ 𝑦 ∈ On) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
148122, 146, 147sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
149145, 148eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
150143, 149sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
151150eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
152142, 151sylibrd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
153152ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
154153impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴)
155 ffnfv 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
156129, 154, 155sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴)
157 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝑧𝐴𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
158157biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
159 eliun 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)))
160 cardon 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
161160onelssi 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦)))
162149sseq2d 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦))))
163161, 162syl5ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
164163reximdva 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ On → (∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
165159, 164syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ On → (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
166158, 165syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
167166expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
168167ralrimiv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
169168ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ On → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
170118, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
171 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((card ∘ 𝑅1):On⟶On → Fun (card ∘ 𝑅1))
172124, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun (card ∘ 𝑅1)
173 resfunexg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun (card ∘ 𝑅1) ∧ 𝑥 ∈ V) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V)
174172, 62, 173mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V
175 feq1 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤:𝑥𝐴 ↔ ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴))
176 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤𝑦) = (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
177176sseq2d 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
178177rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
179178ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
180175, 179anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → ((𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))))
181174, 180spcev 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)))
182156, 170, 181syl6an 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦))))
1833ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝐴 ∈ On)
184 cfflb 8964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
185183, 118, 184syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
186182, 185syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
18749simp2bi 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ Inacc → (cf‘𝐴) = 𝐴)
188187sseq1d 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Inacc → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
189188ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
190186, 189sylibd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝐴𝑥))
191 ontri1 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
192183, 118, 191syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
193190, 192sylibd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ¬ 𝑥𝐴))
194114, 193mt2d 130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
195 iunon 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
19662, 195mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
197160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
198196, 197mprg 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
199 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
200 eloni 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
201 eloni 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
202 ordequn 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
203200, 201, 202syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
204199, 203syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
205118, 198, 204sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
206113, 194, 205mtord 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)
207 onelss 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
208183, 114, 207sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
209 onelss 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ On → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
210130, 142, 209sylsyld 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
211210ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
212211impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
213 iunss 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
214212, 213sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
215208, 214unssd 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴)
216 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅))
217 iuneq1 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) = 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)))
218216, 217uneq12d 3730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))))
219218eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ↔ (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On))
220 0elon 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ∅ ∈ On
221220elimel 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ On
222221elexi 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V
223 iunon 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
224222, 223mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
225160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
226224, 225mprg 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
227221, 226onun2i 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On
228219, 227dedth 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ On → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
229117, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
230229adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
2313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → 𝐴 ∈ On)
232 onsseleq 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
233230, 231, 232syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
234215, 233mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴))
235234orcomd 402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
236235ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
237206, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴)
238137ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (card‘𝐴) = 𝐴)
239 iscard 8684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴))
240239simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴)
241 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 ↔ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
242241rspccv 3279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 𝑧𝐴 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
243238, 240, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
244237, 243mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴)
245 domsdomtr 7980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
246107, 244, 245syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
247246exp43 638 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
248247com4l 90 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
24913, 17, 21, 28, 61, 248tfinds2 6955 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)))
250249impd 446 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))
2519, 250mpcom 37 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
252 sdomdom 7869 . . . . . . 7 ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
253251, 252syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
254253ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
255 iundom 9243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2563, 254, 255syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2577, 256eqbrtrd 4605 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
258 winainf 9395 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2591, 258syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → ω ⊆ 𝐴)
260 infxpen 8720 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ω ⊆ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
2613, 259, 260syl2anc 691 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
262 domentr 7901 . . 3 (((𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
263257, 261, 262syl2anc 691 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
264 fvex 6113 . . 3 (𝑅1𝐴) ∈ V
265122fdmi 5965 . . . . 5 dom 𝑅1 = On
2662, 265syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ dom 𝑅1)
267 onssr1 8577 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2681, 266, 2673syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
269 ssdomg 7887 . . 3 ((𝑅1𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)))
270264, 268, 269mpsyl 66 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴))
271 sbth 7965 . 2 (((𝑅1𝐴) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
272263, 270, 271syl2anc 691 1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108   ciun 4455   class class class wbr 4583  Tr wtr 4680   × cxp 5036  dom cdm 5038  cres 5040  ccom 5042  Ord word 5639  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  suc csuc 5642  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  ωcom 6957  cen 7838  cdom 7839  csdm 7840  𝑅1cr1 8508  cardccrd 8644  cfccf 8646  Inaccwcwina 9383  Inacccina 9384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-r1 8510  df-rank 8511  df-card 8648  df-cf 8650  df-acn 8651  df-ac 8822  df-wina 9385  df-ina 9386
This theorem is referenced by:  r1omALT  9477  inatsk  9479
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