MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domentr 7901
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 7868 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 7895 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 490 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   class class class wbr 4583  cen 7838  cdom 7839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-f1o 5811  df-en 7842  df-dom 7843
This theorem is referenced by:  domdifsn  7928  xpdom1g  7942  domunsncan  7945  sdomdomtr  7978  domen2  7988  mapdom2  8016  php  8029  unxpdom2  8053  sucxpdom  8054  xpfir  8067  fodomfi  8124  cardsdomelir  8682  infxpenlem  8719  xpct  8722  infpwfien  8768  inffien  8769  mappwen  8818  iunfictbso  8820  cdaxpdom  8894  cdainflem  8896  cdainf  8897  cdalepw  8901  ficardun2  8908  unctb  8910  infcdaabs  8911  infunabs  8912  infcda  8913  infdif  8914  infxpdom  8916  pwcdadom  8921  infmap2  8923  fictb  8950  cfslb  8971  fin1a2lem11  9115  unirnfdomd  9268  iunctb  9275  alephreg  9283  cfpwsdom  9285  gchdomtri  9330  canthp1lem1  9353  pwfseqlem5  9364  pwxpndom  9367  gchcdaidm  9369  gchxpidm  9370  gchpwdom  9371  gchhar  9380  inttsk  9475  inar1  9476  tskcard  9482  znnen  14780  qnnen  14781  rpnnen  14795  rexpen  14796  aleph1irr  14814  cygctb  18116  1stcfb  21058  2ndcredom  21063  2ndcctbss  21068  hauspwdom  21114  tx1stc  21263  tx2ndc  21264  met1stc  22136  met2ndci  22137  re2ndc  22412  opnreen  22442  ovolctb2  23067  ovolfi  23069  uniiccdif  23152  dyadmbl  23174  opnmblALT  23177  vitali  23188  mbfimaopnlem  23228  mbfsup  23237  aannenlem3  23889  fnct  28876  dmvlsiga  29519  sigapildsys  29552  omssubadd  29689  carsgclctunlem3  29709  finminlem  31482  phpreu  32563  lindsdom  32573  mblfinlem1  32616  pellexlem4  36414  pellexlem5  36415  nnfoctb  38238  ioonct  38611  subsaliuncl  39252  caragenunicl  39414  aacllem  42356
  Copyright terms: Public domain W3C validator