Theorem onelon 5665

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onelon	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5650	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelon 5664	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylan 487	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Ord word 5639  Oncon0 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644

This theorem is referenced by:  oneli  5752  ssorduni  6877  unon  6923  tfindsg2  6953  dfom2  6959  ordom  6966  onfununi  7325  onnseq  7328  dfrecs3  7356  tz7.48-2  7424  tz7.49  7427  oalim  7499  omlim  7500  oelim  7501  oaordi  7513  oalimcl  7527  oaass  7528  omordi  7533  omlimcl  7545  odi  7546  omass  7547  omeulem1  7549  omeulem2  7550  omopth2  7551  oewordri  7559  oeordsuc  7561  oelimcl  7567  oeeui  7569  oaabs2  7612  omabs  7614  omxpenlem  7946  hartogs  8332  card2on  8342  cantnfle  8451  cantnflt  8452  cantnfp1lem2  8459  cantnfp1lem3  8460  cantnfp1  8461  oemapvali  8464  cantnflem1b  8466  cantnflem1c  8467  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469  cantnflem2  8470  cantnflem3  8471  cantnflem4  8472  cantnf  8473  cnfcomlem  8479  cnfcom3lem  8483  cnfcom3  8484  r1ordg  8524  r1val3  8584  tskwe  8659  iscard  8684  cardmin2  8707  infxpenlem  8719  infxpenc2lem2  8726  alephordi  8780  alephord2i  8783  alephle  8794  cardaleph  8795  cfub  8954  cfsmolem  8975  zorn2lem5  9205  zorn2lem6  9206  ttukeylem6  9219  ttukeylem7  9220  ondomon  9264  cardmin  9265  alephval2  9273  alephreg  9283  smobeth  9287  winainflem  9394  inar1  9476  inatsk  9479  dfrdg2  30945  sltval2  31053  sltres  31061  nodenselem5  31084  nodenselem7  31086  nobndlem6  31096  nobndup  31099  dfrdg4  31228  ontopbas  31597  onpsstopbas  31599  onint1  31618