Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwen 8018
 Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 7846 . . . 4 Rel ≈
21brrelexi 5082 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 pw2eng 7951 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
5 2onn 7607 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
65elexi 3186 . . . . 5 2𝑜 ∈ V
76enref 7874 . . . 4 2𝑜 ≈ 2𝑜
8 mapen 8009 . . . 4 ((2𝑜 ≈ 2𝑜𝐴𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
97, 8mpan 702 . . 3 (𝐴𝐵 → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
101brrelex2i 5083 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
11 pw2eng 7951 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
12 ensym 7891 . . . 4 (𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
1310, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14 entr 7894 . . 3 (((2𝑜𝑚 𝐴) ≈ (2𝑜𝑚 𝐵) ∧ (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
159, 13, 14syl2anc 691 . 2 (𝐴𝐵 → (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16 entr 7894 . 2 ((𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ (2𝑜𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
174, 15, 16syl2anc 691 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957  2𝑜c2o 7441   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842 This theorem is referenced by:  pwfi  8144  dfac12k  8852  pwcdaidm  8900  pwsdompw  8909  ackbij2lem2  8945  engch  9329  gchdomtri  9330  canthp1lem1  9353  gchcdaidm  9369  gchxpidm  9370  gchpwdom  9371  gchhar  9380  inar1  9476  rexpen  14796  enrelmap  37311  enrelmapr  37312
 Copyright terms: Public domain W3C validator