Theorem ontri1 5674

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5650	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 5650	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 5673	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 493	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  Ord word 5639  Oncon0 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644

This theorem is referenced by:  oneqmini  5693  onmindif  5732  onint  6887  onnmin  6895  onmindif2  6904  dfom2  6959  ondif2  7469  oaword  7516  oawordeulem  7521  oaf1o  7530  odi  7546  omeulem1  7549  oeeulem  7568  oeeui  7569  nnmword  7600  domtriord  7991  sdomel  7992  onsdominel  7994  ordunifi  8095  cantnfp1lem3  8460  oemapvali  8464  cantnflem1b  8466  cantnflem1  8469  cnfcom3lem  8483  rankr1clem  8566  rankelb  8570  rankval3b  8572  rankr1a  8582  unbndrank  8588  rankxplim3  8627  cardne  8674  carden2b  8676  cardsdomel  8683  carddom2  8686  harcard  8687  domtri2  8698  infxpenlem  8719  alephord  8781  alephord3  8784  alephle  8794  dfac12k  8852  cflim2  8968  cofsmo  8974  cfsmolem  8975  isf32lem5  9062  pwcfsdom  9284  pwfseqlem3  9361  inar1  9476  om2uzlt2i  12612  sltval2  31053  sltres  31061  nodenselem7  31086  nocvxminlem  31089  nobndup  31099  nobnddown  31100  onsuct0  31610  onint1  31618