Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem5 9062
 Description: Lemma for isfin3-2 9072. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
Assertion
Ref Expression
isf32lem5 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2 isf32lem.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
3 isf32lem.c . . . 4 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
41, 2, 3isf32lem2 9059 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
54ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
6 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
7 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ⊆ ω
86, 7eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
9 nnunifi 8096 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
108, 9mpan 702 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ω)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
12 elssuni 4403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 𝑆)
13 nnon 6963 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
14 omsson 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ω ⊆ On
1514, 11sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ On)
16 ontri1 5674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑆 ∈ On) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1713, 15, 16syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1812, 17syl5ib 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏𝑆 → ¬ 𝑆𝑏))
1918con2d 128 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ 𝑏𝑆))
2019impr 647 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏𝑆)
216eleq2i 2680 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑆𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
2220, 21sylnib 317 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
23 suceq 5707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → suc 𝑦 = suc 𝑏)
2423fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc 𝑏))
25 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2624, 25psseq12d 3663 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2726elrab3 3332 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ω → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2827ad2antrl 760 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2922, 28mtbid 313 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))
3029expr 641 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
31 imnan 437 . . . . . . 7 (( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3230, 31sylib 207 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3332nrexdv 2984 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
34 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑆 → (𝑎𝑏 𝑆𝑏))
3534anbi1d 737 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑆 → ((𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3635rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3736notbid 307 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑆 → (¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3837rspcev 3282 . . . . 5 (( 𝑆 ∈ ω ∧ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3911, 33, 38syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
40 rexnal 2978 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4139, 40sylib 207 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4241ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
435, 42mt2d 130 1 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∩ cint 4410  ran crn 5039  Oncon0 5640  suc csuc 5642  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ωcom 6957  Fincfn 7841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845 This theorem is referenced by:  isf32lem6  9063  isf32lem7  9064  isf32lem8  9065
 Copyright terms: Public domain W3C validator