Theorem isf32lem5 8726

Description: Lemma for isfin3-2 8736. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	|- ( ph -> F : om --> ~P G )
isf32lem.b	|- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
isf32lem.c	|- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
isf32lem.d	|- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }

Assertion

Ref	Expression
isf32lem5	|- ( ph -> -. S e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, ph   x, F, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> ~P G )
2		isf32lem.b	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
3		isf32lem.c	. . . 4 |- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
4	1, 2, 3	isf32lem2 8723	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. om ) -> E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
5	4	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
6		isf32lem.d	. . . . . . . 8 |- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }
7		ssrab2 3578	. . . . . . . 8 |- { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } C_ om
8	6, 7	eqsstri 3527	. . . . . . 7 |- S C_ om
9		nnunifi 7760	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ om /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
10	8, 9	mpan 670	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> U. S e. om )
11	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
12		elssuni 4268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> b C_ U. S )
13		nnon 6677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. om -> b e. On )
14		omsson 6675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om C_ On
15	14, 11	sseldi 3495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. On )
16		ontri1 4905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. On /\ U. S e. On ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
17	13, 15, 16	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
18	12, 17	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b e. S -> -. U. S e. b ) )
19	18	con2d 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. b e. S ) )
20	19	impr 619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. S )
21	6	eleq2i 2538	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. S <-> b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
22	20, 21	sylnib 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
23		suceq 4936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> suc y = suc b )
24	23	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` suc y ) = ( F ` suc b ) )
25		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
26	24, 25	psseq12d 3591	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
27	26	elrab3 3255	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. om -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
28	27	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
29	22, 28	mtbid 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) )
30	29	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
31		imnan 422	. . . . . . 7 |- ( ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
33	32	nrexdv 2913	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
34		eleq1 2532	. . . . . . . . 9 |- ( a = U. S -> ( a e. b <-> U. S e. b ) )
35	34	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( a = U. S -> ( ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
36	35	rexbidv 2966	. . . . . . 7 |- ( a = U. S -> ( E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
37	36	notbid 294	. . . . . 6 |- ( a = U. S -> ( -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
38	37	rspcev 3207	. . . . 5 |- ( ( U. S e. om /\ -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
39	11, 33, 38	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
40		rexnal 2905	. . . 4 |- ( E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
41	39, 40	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
42	41	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( S e. Fin -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
43	5, 42	mt2d 117	1 |- ( ph -> -. S e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3469   C. wpss 3470   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   |^|cint 4275   Oncon0 4871   suc csuc 4873   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579   omcom 6671   Fincfn 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510

This theorem is referenced by:  isf32lem6  8727  isf32lem7  8728  isf32lem8  8729