Theorem isf32lem5 8193

Description: Lemma for isfin3-2 8203. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	|- ( ph -> F : om --> ~P G )
isf32lem.b	|- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
isf32lem.c	|- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
isf32lem.d	|- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }

Assertion

Ref	Expression
isf32lem5	|- ( ph -> -. S e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, ph   x, F, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> ~P G )
2		isf32lem.b	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
3		isf32lem.c	. . . 4 |- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
4	1, 2, 3	isf32lem2 8190	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. om ) -> E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
5	4	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
6		isf32lem.d	. . . . . . . 8 |- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }
7		ssrab2 3388	. . . . . . . 8 |- { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } C_ om
8	6, 7	eqsstri 3338	. . . . . . 7 |- S C_ om
9		nnunifi 7317	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ om /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
10	8, 9	mpan 652	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> U. S e. om )
11	10	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
12		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> b C_ U. S )
13		nnon 4810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. om -> b e. On )
14		omsson 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om C_ On
15	14, 11	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. On )
16		ontri1 4575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. On /\ U. S e. On ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
17	13, 15, 16	syl2anr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
18	12, 17	syl5ib 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b e. S -> -. U. S e. b ) )
19	18	con2d 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. b e. S ) )
20	19	impr 603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. S )
21	6	eleq2i 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. S <-> b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
22	20, 21	sylnib 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
23		suceq 4606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> suc y = suc b )
24	23	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` suc y ) = ( F ` suc b ) )
25		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
26	24, 25	psseq12d 3401	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
27	26	elrab3 3053	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. om -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
28	27	ad2antrl 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
29	22, 28	mtbid 292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) )
30	29	expr 599	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
31		imnan 412	. . . . . . 7 |- ( ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
32	30, 31	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
33	32	nrexdv 2769	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
34		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( a = U. S -> ( a e. b <-> U. S e. b ) )
35	34	anbi1d 686	. . . . . . . 8 |- ( a = U. S -> ( ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
36	35	rexbidv 2687	. . . . . . 7 |- ( a = U. S -> ( E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
37	36	notbid 286	. . . . . 6 |- ( a = U. S -> ( -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
38	37	rspcev 3012	. . . . 5 |- ( ( U. S e. om /\ -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
39	11, 33, 38	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
40		rexnal 2677	. . . 4 |- ( E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
41	39, 40	sylib 189	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
42	41	ex 424	. 2 |- ( ph -> ( S e. Fin -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
43	5, 42	mt2d 111	1 |- ( ph -> -. S e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   C. wpss 3281   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   |^|cint 4010   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413   Fincfn 7068

This theorem is referenced by:  isf32lem6  8194  isf32lem7  8195  isf32lem8  8196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072