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Theorem isf32lem5 8726
Description: Lemma for isfin3-2 8736. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
isf32lem5  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, F, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
41, 2, 3isf32lem2 8723 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
54ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
6 isf32lem.d . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
7 ssrab2 3578 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3527 . . . . . . 7  |-  S  C_  om
9 nnunifi 7760 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
108, 9mpan 670 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  U. S  e.  om )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
12 elssuni 4268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  C_ 
U. S )
13 nnon 6677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
14 omsson 6675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  C_  On
1514, 11sseldi 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  On )
16 ontri1 4905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  On  /\  U. S  e.  On )  ->  ( b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1713, 15, 16syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1812, 17syl5ib 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  e.  S  ->  -.  U. S  e.  b ) )
1918con2d 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  b  e.  S
) )
2019impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  S )
216eleq2i 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  S  <->  b  e.  { y  e.  om  | 
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
2220, 21sylnib 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
23 suceq 4936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  suc  y  =  suc  b )
2423fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  suc  y )  =  ( F `  suc  b ) )
25 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  y )  =  ( F `  b ) )
2624, 25psseq12d 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y )  <->  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
2726elrab3 3255 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  (
b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  <->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) ) )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  ( b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } 
<->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
2922, 28mtbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) )
3029expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
31 imnan 422 . . . . . . 7  |-  ( ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
3230, 31sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
3332nrexdv 2913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
34 eleq1 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U. S  -> 
( a  e.  b  <->  U. S  e.  b
) )
3534anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  U. S  -> 
( ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) ) )
3635rexbidv 2966 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. S  -> 
( E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3736notbid 294 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. S  -> 
( -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3837rspcev 3207 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  om  /\ 
-.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
3911, 33, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
40 rexnal 2905 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  A. a  e.  om  E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4139, 40sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  A. a  e.  om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4241ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  Fin  ->  -.  A. a  e. 
om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) ) )
435, 42mt2d 117 1  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3469    C. wpss 3470   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   |^|cint 4275   Oncon0 4871   suc csuc 4873   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579   omcom 6671   Fincfn 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510
This theorem is referenced by:  isf32lem6  8727  isf32lem7  8728  isf32lem8  8729
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