Theorem isf32lem5 8735

Description: Lemma for isfin3-2 8745. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	|- ( ph -> F : om --> ~P G )
isf32lem.b	|- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
isf32lem.c	|- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
isf32lem.d	|- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }

Assertion

Ref	Expression
isf32lem5	|- ( ph -> -. S e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, ph   x, F, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> ~P G )
2		isf32lem.b	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
3		isf32lem.c	. . . 4 |- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
4	1, 2, 3	isf32lem2 8732	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. om ) -> E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
5	4	ralrimiva 2855	. 2 |- ( ph -> A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
6		isf32lem.d	. . . . . . . 8 |- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }
7		ssrab2 3567	. . . . . . . 8 |- { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } C_ om
8	6, 7	eqsstri 3516	. . . . . . 7 |- S C_ om
9		nnunifi 7769	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ om /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
10	8, 9	mpan 670	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> U. S e. om )
11	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
12		elssuni 4260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> b C_ U. S )
13		nnon 6687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. om -> b e. On )
14		omsson 6685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om C_ On
15	14, 11	sseldi 3484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. On )
16		ontri1 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. On /\ U. S e. On ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
17	13, 15, 16	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
18	12, 17	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b e. S -> -. U. S e. b ) )
19	18	con2d 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. b e. S ) )
20	19	impr 619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. S )
21	6	eleq2i 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. S <-> b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
22	20, 21	sylnib 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
23		suceq 4929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> suc y = suc b )
24	23	fveq2d 5856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` suc y ) = ( F ` suc b ) )
25		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
26	24, 25	psseq12d 3580	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
27	26	elrab3 3242	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. om -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
28	27	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
29	22, 28	mtbid 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) )
30	29	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
31		imnan 422	. . . . . . 7 |- ( ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
33	32	nrexdv 2897	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
34		eleq1 2513	. . . . . . . . 9 |- ( a = U. S -> ( a e. b <-> U. S e. b ) )
35	34	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( a = U. S -> ( ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
36	35	rexbidv 2952	. . . . . . 7 |- ( a = U. S -> ( E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
37	36	notbid 294	. . . . . 6 |- ( a = U. S -> ( -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
38	37	rspcev 3194	. . . . 5 |- ( ( U. S e. om /\ -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
39	11, 33, 38	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
40		rexnal 2889	. . . 4 |- ( E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
41	39, 40	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
42	41	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( S e. Fin -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
43	5, 42	mt2d 117	1 |- ( ph -> -. S e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795   C_ wss 3458   C. wpss 3459   ~Pcpw 3993   U.cuni 4230   |^|cint 4267   Oncon0 4864   suc csuc 4866   ran crn 4986   -->wf 5570   ` cfv 5574   omcom 6681   Fincfn 7514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-om 6682  df-1o 7128  df-er 7309  df-en 7515  df-fin 7518

This theorem is referenced by:  isf32lem6  8736  isf32lem7  8737  isf32lem8  8738