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Theorem isf32lem5 8629
Description: Lemma for isfin3-2 8639. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
isf32lem5  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, F, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
41, 2, 3isf32lem2 8626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
54ralrimiva 2822 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
6 isf32lem.d . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
7 ssrab2 3537 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3486 . . . . . . 7  |-  S  C_  om
9 nnunifi 7666 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
108, 9mpan 670 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  U. S  e.  om )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
12 elssuni 4221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  C_ 
U. S )
13 nnon 6584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
14 omsson 6582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  C_  On
1514, 11sseldi 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  On )
16 ontri1 4853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  On  /\  U. S  e.  On )  ->  ( b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1713, 15, 16syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1812, 17syl5ib 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  e.  S  ->  -.  U. S  e.  b ) )
1918con2d 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  b  e.  S
) )
2019impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  S )
216eleq2i 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  S  <->  b  e.  { y  e.  om  | 
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
2220, 21sylnib 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
23 suceq 4884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  suc  y  =  suc  b )
2423fveq2d 5795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  suc  y )  =  ( F `  suc  b ) )
25 fveq2 5791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  y )  =  ( F `  b ) )
2624, 25psseq12d 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y )  <->  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
2726elrab3 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  (
b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  <->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) ) )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  ( b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } 
<->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
2922, 28mtbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) )
3029expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
31 imnan 422 . . . . . . 7  |-  ( ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
3230, 31sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
3332nrexdv 2917 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
34 eleq1 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U. S  -> 
( a  e.  b  <->  U. S  e.  b
) )
3534anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  U. S  -> 
( ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) ) )
3635rexbidv 2848 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. S  -> 
( E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3736notbid 294 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. S  -> 
( -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3837rspcev 3171 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  om  /\ 
-.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
3911, 33, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
40 rexnal 2842 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  A. a  e.  om  E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4139, 40sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  A. a  e.  om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4241ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  Fin  ->  -.  A. a  e. 
om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) ) )
435, 42mt2d 117 1  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3428    C. wpss 3429   ~Pcpw 3960   U.cuni 4191   |^|cint 4228   Oncon0 4819   suc csuc 4821   ran crn 4941   -->wf 5514   ` cfv 5518   omcom 6578   Fincfn 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-om 6579  df-1o 7022  df-er 7203  df-en 7413  df-fin 7416
This theorem is referenced by:  isf32lem6  8630  isf32lem7  8631  isf32lem8  8632
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