Theorem suceq 5707

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 4135	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3730	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 5646	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 5646	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2669	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∪ cun 3538  {csn 4125  suc csuc 5642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-un 3545  df-sn 4126  df-suc 5646

This theorem is referenced by:  eqelsuc  5723  suc11  5748  ordunisuc  6924  onsucuni2  6926  onuninsuci  6932  limsuc  6941  tfindes  6954  tfinds2  6955  findes  6988  onnseq  7328  seqomlem0  7431  seqomlem1  7432  seqomlem4  7435  oasuc  7491  onasuc  7495  oa1suc  7498  oa0r  7505  o2p2e4  7508  oaass  7528  oneo  7548  omeulem1  7549  oeeulem  7568  oeeui  7569  nna0r  7576  nnacom  7584  nnaass  7589  nnmsucr  7592  omabs  7614  nnneo  7618  nneob  7619  omsmolem  7620  omopthlem1  7622  limensuc  8022  infensuc  8023  nneneq  8028  unblem2  8098  unblem3  8099  suc11reg  8399  inf0  8401  inf3lem1  8408  dfom3  8427  cantnflt  8452  cantnflem1  8469  cnfcom  8480  r1elwf  8542  rankidb  8546  rankonidlem  8574  ranklim  8590  rankopb  8598  rankelop  8620  rankxpu  8622  rankmapu  8624  rankxplim  8625  cardsucnn  8694  dif1card  8716  infxpenlem  8719  fseqenlem1  8730  dfac12lem1  8848  dfac12lem2  8849  dfac12r  8851  pwsdompw  8909  ackbij1lem5  8929  ackbij1lem14  8938  ackbij1lem18  8942  ackbij1  8943  ackbij2lem3  8946  cfsmolem  8975  cfsmo  8976  sornom  8982  isfin3ds  9034  isf32lem1  9058  isf32lem2  9059  isf32lem5  9062  isf32lem6  9063  isf32lem7  9064  isf32lem8  9065  isf32lem11  9068  fin1a2lem1  9105  ituniiun  9127  axdc2lem  9153  axdc3lem2  9156  axdc3lem3  9157  axdc3lem4  9158  axdc3  9159  axdc4lem  9160  axcclem  9162  axdclem2  9225  wunex2  9439  om2uzsuci  12609  axdc4uzlem  12644  bnj222  30207  bnj966  30268  bnj1112  30305  nofulllem1  31101  nofulllem2  31102  rankaltopb  31256  ranksng  31444  rankpwg  31446  rankeq1o  31448  ontgsucval  31601  onsuccon  31607  onsucsuccmp  31613  limsucncmp  31615  ordcmp  31616  finxpreclem4  32407  finxp00  32415  limsuc2  36629  aomclem4  36645  aomclem8  36649  onsetreclem1  42247