Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuc 8022
 Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
limensuc ((𝐴𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuc
StepHypRef Expression
1 eleq1 2676 . . . 4 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴𝑉 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉))
2 id 22 . . . . 5 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → 𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
3 suceq 5707 . . . . 5 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
42, 3breq12d 4596 . . . 4 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴 ≈ suc 𝐴 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
51, 4imbi12d 333 . . 3 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → ((𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴) ↔ (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))))
6 limeq 5652 . . . . 5 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
7 limeq 5652 . . . . 5 (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
8 limon 6928 . . . . 5 Lim On
96, 7, 8elimhyp 4096 . . . 4 Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
109limensuci 8021 . . 3 (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
115, 10dedth 4089 . 2 (Lim 𝐴 → (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴))
1211impcom 445 1 ((𝐴𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  suc csuc 5642   ≈ cen 7838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843 This theorem is referenced by:  infensuc  8023
 Copyright terms: Public domain W3C validator