Theorem onmindif2 6904

Description: The minimum of a class of ordinal numbers is less than the minimum of that class with its minimum removed. (Contributed by NM, 20-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onmindif2	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}))

Proof of Theorem onmindif2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4260	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∩ 𝐴))
2		onnmin 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
3	2	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
4		oninton 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ On)
6		ssel2 3563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
7	6	adantlr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
8		ontri1 5674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
9		onsseleq 5682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
10	8, 9	bitr3d 269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
11	5, 7, 10	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥)))
12	3, 11	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ∈ 𝑥 ∨ ∩ 𝐴 = 𝑥))
13	12	ord 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∩ 𝐴 ∈ 𝑥 → ∩ 𝐴 = 𝑥))
14		eqcom 2617	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = 𝑥 ↔ 𝑥 = ∩ 𝐴)
15	13, 14	syl6ib 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∩ 𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 = ∩ 𝐴))
16	15	necon1ad 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∩ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
17	16	expimpd 627	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∩ 𝐴) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
18	1, 17	syl5bi 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
19	18	ralrimiv 2948	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥)
20		intex 4747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
21		elintg 4418	. . . 4 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
22	20, 21	sylbi 206	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
23	22	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴})∩ 𝐴 ∈ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ ∩ (𝐴 ∖ {∩ 𝐴}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ∩ cint 4410  Oncon0 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644

This theorem is referenced by: (None)