MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ontri1 Structured version   Unicode version

Theorem ontri1 4749
Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ontri1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem ontri1
StepHypRef Expression
1 eloni 4725 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 eloni 4725 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordtri1 4748 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
41, 2, 3syl2an 474 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1761    C_ wss 3325   Ord word 4714   Oncon0 4715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719
This theorem is referenced by:  oneqmini  4766  onmindif  4804  onint  6405  onnmin  6413  onmindif2  6422  dfom2  6477  ondif2  6938  oaword  6984  oawordeulem  6989  oaf1o  6998  odi  7014  omeulem1  7017  oeeulem  7036  oeeui  7037  nnmword  7068  domtriord  7453  sdomel  7454  onsdominel  7456  ordunifi  7558  cantnfp1lem3  7884  oemapvali  7888  cantnflem1b  7890  cantnflem1  7893  cantnfp1lem3OLD  7910  cantnflem1bOLD  7913  cantnflem1OLD  7916  cnfcom3lem  7932  cnfcom3lemOLD  7940  rankr1clem  8023  rankelb  8027  rankval3b  8029  rankr1a  8039  unbndrank  8045  rankxplim3  8084  cardne  8131  carden2b  8133  cardsdomel  8140  carddom2  8143  harcard  8144  domtri2  8155  infxpenlem  8176  alephord  8241  alephord3  8244  alephle  8254  dfac12k  8312  cflim2  8428  cofsmo  8434  cfsmolem  8435  isf32lem5  8522  pwcfsdom  8743  pwfseqlem3  8823  inar1  8938  om2uzlt2i  11770  sltval2  27726  sltres  27734  nodenselem7  27757  nocvxminlem  27760  nobndup  27770  nobnddown  27771  onsuct0  28217  onint1  28225
  Copyright terms: Public domain W3C validator