MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ontri1 Structured version   Unicode version

Theorem ontri1 4912
Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ontri1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem ontri1
StepHypRef Expression
1 eloni 4888 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 eloni 4888 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordtri1 4911 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3476   Ord word 4877   Oncon0 4878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882
This theorem is referenced by:  oneqmini  4929  onmindif  4967  onint  6614  onnmin  6622  onmindif2  6631  dfom2  6686  ondif2  7152  oaword  7198  oawordeulem  7203  oaf1o  7212  odi  7228  omeulem1  7231  oeeulem  7250  oeeui  7251  nnmword  7282  domtriord  7663  sdomel  7664  onsdominel  7666  ordunifi  7770  cantnfp1lem3  8099  oemapvali  8103  cantnflem1b  8105  cantnflem1  8108  cantnfp1lem3OLD  8125  cantnflem1bOLD  8128  cantnflem1OLD  8131  cnfcom3lem  8147  cnfcom3lemOLD  8155  rankr1clem  8238  rankelb  8242  rankval3b  8244  rankr1a  8254  unbndrank  8260  rankxplim3  8299  cardne  8346  carden2b  8348  cardsdomel  8355  carddom2  8358  harcard  8359  domtri2  8370  infxpenlem  8391  alephord  8456  alephord3  8459  alephle  8469  dfac12k  8527  cflim2  8643  cofsmo  8649  cfsmolem  8650  isf32lem5  8737  pwcfsdom  8958  pwfseqlem3  9038  inar1  9153  om2uzlt2i  12030  sltval2  29021  sltres  29029  nodenselem7  29052  nocvxminlem  29055  nobndup  29065  nobnddown  29066  onsuct0  29511  onint1  29519
  Copyright terms: Public domain W3C validator