Theorem ontri1 3695

Description: A trichotomy law for ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
ontri1	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A C_ B <-> -. B e. A))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 3693	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> -. B e. A))
2		eloni 3667	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3		eloni 3667	. 2 |- (B e. On -> Ord B)
4	1, 2, 3	syl2an 503	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A C_ B <-> -. B e. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  oneqmini 3714  onmindif 3760  onint 3876  onnmin 3884  onmindif2 3893  dfom2 3951  oaword 5230  oawordeulem 5236  odi 5258  rankr1lem 5784  rankr1 5785  rankr1a 5788  rankel 5791  unbndrank 5794  rankxplim3 5825  cardne 5980  carden 5981  carddom 5987  domtri 5989  sdomel 5999  cardsdomel 6004  ondomcard 6009  cardprc 6013  alephord 6023  alephord3 6026  alephle 6032  om2uzlt2i 7710  sltval2 13997  axdenselem7 14025  nocvxminlem 14028  axfelem8 14038  axfelem9 14039  axfelem12 14042  axfelem15 14045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain