MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ontri1 Unicode version

Theorem ontri1 4575
Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ontri1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem ontri1
StepHypRef Expression
1 eloni 4551 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 eloni 4551 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordtri1 4574 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3280   Ord word 4540   Oncon0 4541
This theorem is referenced by:  oneqmini  4592  onmindif  4630  onint  4734  onnmin  4742  onmindif2  4751  dfom2  4806  ondif2  6705  oaword  6751  oawordeulem  6756  oaf1o  6765  odi  6781  omeulem1  6784  oeeulem  6803  oeeui  6804  nnmword  6835  domtriord  7212  sdomel  7213  onsdominel  7215  ordunifi  7316  cantnfp1lem3  7592  oemapvali  7596  cantnflem1b  7598  cantnflem1  7601  cnfcom3lem  7616  rankr1clem  7702  rankelb  7706  rankval3b  7708  rankr1a  7718  unbndrank  7724  rankxplim3  7761  cardne  7808  carden2b  7810  cardsdomel  7817  carddom2  7820  harcard  7821  domtri2  7832  infxpenlem  7851  alephord  7912  alephord3  7915  alephle  7925  dfac12k  7983  cflim2  8099  cofsmo  8105  cfsmolem  8106  isf32lem5  8193  pwcfsdom  8414  pwfseqlem3  8491  inar1  8606  om2uzlt2i  11246  sltval2  25524  sltres  25532  nodenselem7  25555  nocvxminlem  25558  nobndup  25568  nobnddown  25569  onsuct0  26095  onint1  26103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545
  Copyright terms: Public domain W3C validator