Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapvali 8464
 Description: If 𝐹 < 𝐺, then there is some 𝑧 witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression 𝑋 that also witnesses 𝐹 < 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
oemapval.f (𝜑𝐹𝑆)
oemapval.g (𝜑𝐺𝑆)
oemapvali.r (𝜑𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
Assertion
Ref Expression
oemapvali (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3 (𝜑𝐹𝑇𝐺)
2 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
3 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
5 oemapval.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
6 oemapval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑆)
7 oemapval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8463 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑇𝐺 ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))))
91, 8mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
10 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵
11 oemapvali.x . . . . 5 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
124adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ∈ On)
13 onss 6882 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ⊆ On)
1510, 14syl5ss 3579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On)
162, 3, 4cantnfs 8446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
177, 16mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1817simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 finSupp ∅)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺 finSupp ∅)
2043ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐵 ∈ On)
21 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐𝐵)
2217simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
23 ffn 5958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐴𝐺 Fn 𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
25243ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐺 Fn 𝐵)
26 ne0i 3880 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
27263ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
28 fvn0elsupp 7198 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺𝑐) ≠ ∅)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
3029rabssdv 3645 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
32 fsuppimp 8164 . . . . . . . 8 (𝐺 finSupp ∅ → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin))
33 ssfi 8065 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅)) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
3433ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐺 supp ∅) ∈ Fin → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin) → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp ∅ → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3719, 31, 36sylc 63 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
38 simprl 790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝐵)
39 simprrl 800 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧))
40 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑧))
41 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑧))
4240, 41eleq12d 2682 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4342elrab 3331 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑧𝐵 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4438, 39, 43sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
45 ne0i 3880 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
47 ordunifi 8095 . . . . . 6 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4815, 37, 46, 47syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4911, 48syl5eqel 2692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
5010, 49sseldi 3566 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝐵)
51 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
52 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
5351, 52eleq12d 2682 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
54 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑥))
55 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑥))
5654, 55eleq12d 2682 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)))
5756cbvrabv 3172 . . . . . 6 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} = {𝑥𝐵 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)}
5853, 57elrab2 3333 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
5949, 58sylib 207 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
6059simprd 478 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
61 simprrr 801 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
623adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐴 ∈ On)
6322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺:𝐵𝐴)
6463, 50ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐴)
65 onelon 5665 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑋) ∈ On)
6662, 64, 65syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ On)
67 eloni 5650 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑋) ∈ On → Ord (𝐺𝑋))
68 ordirr 5658 . . . . . . . . . 10 (Ord (𝐺𝑋) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
70 nelneq 2712 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋)) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
7160, 69, 70syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
72 eleq2 2677 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → (𝑧𝑤𝑧𝑋))
73 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑋))
74 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑋))
7573, 74eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → ((𝐹𝑤) = (𝐺𝑤) ↔ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7672, 75imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑋 → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7776rspccv 3279 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) → (𝑋𝐵 → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7861, 50, 77sylc 63 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7971, 78mtod 188 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ 𝑧𝑋)
80 ssexg 4732 . . . . . . . . . . 11 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵𝐵 ∈ On) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
8110, 12, 80sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
82 ssonuni 6878 . . . . . . . . . 10 ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On))
8381, 15, 82sylc 63 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On)
8411, 83syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ On)
85 onelon 5665 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ On)
8612, 38, 85syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ On)
87 ontri1 5674 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8884, 86, 87syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8979, 88mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝑧)
90 elssuni 4403 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
9190, 11syl6sseqr 3615 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧𝑋)
9244, 91syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝑋)
9389, 92eqssd 3585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 = 𝑧)
94 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝑤𝑧𝑤))
9594imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → ((𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9695ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9793, 96syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9861, 97mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
9950, 60, 983jca 1235 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
1009, 99rexlimddv 3017 1 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  {copab 4642  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158   CNF ccnf 8441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-cnf 8442 This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8465  cantnflem1b  8466  cantnflem1c  8467  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469
 Copyright terms: Public domain W3C validator