Theorem oemapvali 8099

Description: If F < G, then there is some z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression X that also witnesses F < G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
oemapval.f	|- ( ph -> F e. S )
oemapval.g	|- ( ph -> G e. S )
oemapvali.r	|- ( ph -> F T G )
oemapvali.x	|- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }

Assertion

Ref	Expression
oemapvali	|- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, c, x, y, z, B   A, c, w, x, y, z   T, c   w, F, x, y, z   S, c, x, y, z   G, c, w, x, y, z   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   F, c   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)   X( c)

Proof of Theorem oemapvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oemapvali.r	. . 3 |- ( ph -> F T G )
2		cantnfs.s	. . . 4 |- S = dom ( A CNF B )
3		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
4		cantnfs.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. On )
5		oemapval.t	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
6		oemapval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. S )
7		oemapval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	oemapval 8098	. . 3 |- ( ph -> ( F T G <-> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
10		ssrab2 3585	. . . 4 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B
11		oemapvali.x	. . . . 5 |- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
12	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B e. On )
13		onss 6604	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> B C_ On )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B C_ On )
15	10, 14	syl5ss 3515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On )
16	2, 3, 4	cantnfs 8081	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) ) )
17	7, 16	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) )
18	17	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G finSupp (/) )
19	18	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G finSupp (/) )
20	4	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> B e. On )
21		simp2 997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. B )
22	17	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : B --> A )
23	22	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> G : B --> A )
24		ne0i 3791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
25	24	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
26		fvn0elsupp 6914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ c e. B ) /\ ( G : B --> A /\ ( G ` c ) =/= (/) ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
27	20, 21, 23, 25, 26	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
28	27	rabssdv 3580	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
30		fsuppimp 7831	. . . . . . . 8 |- ( G finSupp (/) -> ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) )
31		ssfi 7737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G supp (/) ) e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
32	31	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( G supp (/) ) e. Fin -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
33	32	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( G finSupp (/) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
35	19, 29, 34	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
36		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. B )
37		simprrl 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( G ` z ) )
38		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( F ` c ) = ( F ` z ) )
39		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( G ` c ) = ( G ` z ) )
40	38, 39	eleq12d 2549	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
41	40	elrab 3261	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( z e. B /\ ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
42	36, 37, 41	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
43		ne0i 3791	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
45		ordunifi 7766	. . . . . 6 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
46	15, 35, 44, 45	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
47	11, 46	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
48	10, 47	sseldi 3502	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. B )
49		fveq2 5864	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
50		fveq2 5864	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( G ` x ) = ( G ` X ) )
51	49, 50	eleq12d 2549	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) e. ( G ` x ) <-> ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
52		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( F ` c ) = ( F ` x ) )
53		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( G ` c ) = ( G ` x ) )
54	52, 53	eleq12d 2549	. . . . . . 7 |- ( c = x -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` x ) e. ( G ` x ) ) )
55	54	cbvrabv 3112	. . . . . 6 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } = { x e. B | ( F ` x ) e. ( G ` x ) }
56	51, 55	elrab2 3263	. . . . 5 |- ( X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
57	47, 56	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
58	57	simprd 463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` X ) e. ( G ` X ) )
59		simprrr 764	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
60	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A e. On )
61	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G : B --> A )
62	61, 48	ffvelrnd 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. A )
63		onelon 4903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( G ` X ) e. A ) -> ( G ` X ) e. On )
64	60, 62, 63	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. On )
65		eloni 4888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` X ) e. On -> Ord ( G ` X ) )
66		ordirr 4896	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( G ` X ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
67	64, 65, 66	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
68		nelneq 2584	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
69	58, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
70		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( z e. w <-> z e. X ) )
71		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( F ` w ) = ( F ` X ) )
72		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( G ` w ) = ( G ` X ) )
73	71, 72	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( ( F ` w ) = ( G ` w ) <-> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
74	70, 73	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( w = X -> ( ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
75	74	rspccv 3211	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( X e. B -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
76	59, 48, 75	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
77	69, 76	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. z e. X )
78		ssexg 4593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B /\ B e. On ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
79	10, 12, 78	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
80		ssonuni 6600	. . . . . . . . . 10 |- ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On ) )
81	79, 15, 80	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On )
82	11, 81	syl5eqel 2559	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. On )
83		onelon 4903	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z e. On )
84	12, 36, 83	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. On )
85		ontri1 4912	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. On /\ z e. On ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
86	82, 84, 85	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
87	77, 86	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X C_ z )
88		elssuni 4275	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
89	88, 11	syl6sseqr 3551	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ X )
90	42, 89	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z C_ X )
91	87, 90	eqssd 3521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X = z )
92		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( X = z -> ( X e. w <-> z e. w ) )
93	92	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( X = z -> ( ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
94	93	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( X = z -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
95	91, 94	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
96	59, 95	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
97	48, 58, 96	3jca 1176	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
98	9, 97	rexlimddv 2959	1 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   {copab 4504   Ord word 4877   Oncon0 4878   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825   CNF ccnf 8074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-1o 7127  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-cnf 8075

This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8100  cantnflem1b  8101  cantnflem1c  8102  cantnflem1d  8103  cantnflem1  8104  cantnflem1aOLD  8123  cantnflem1bOLD  8124  cantnflem1cOLD  8125  cantnflem1dOLD  8126  cantnflem1OLD  8127