Theorem oemapvali 7596

Description: If F < G, then there is some z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression X that also witnesses F < G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.1	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.2	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.3	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
oemapval.3	|- ( ph -> F e. S )
oemapval.4	|- ( ph -> G e. S )
oemapvali.5	|- ( ph -> F T G )
oemapvali.6	|- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }

Assertion

Ref	Expression
oemapvali	|- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, c, x, y, z, B   A, c, w, x, y, z   T, c   w, F, x, y, z   S, c, x, y, z   G, c, w, x, y, z   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   F, c   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)   X( c)

Proof of Theorem oemapvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oemapvali.5	. . 3 |- ( ph -> F T G )
2		cantnfs.1	. . . 4 |- S = dom ( A CNF B )
3		cantnfs.2	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
4		cantnfs.3	. . . 4 |- ( ph -> B e. On )
5		oemapval.t	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
6		oemapval.3	. . . 4 |- ( ph -> F e. S )
7		oemapval.4	. . . 4 |- ( ph -> G e. S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	oemapval 7595	. . 3 |- ( ph -> ( F T G <-> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 202	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
10		oemapvali.6	. . . . . 6 |- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
11		ssrab2 3388	. . . . . . . 8 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B
12	4	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B e. On )
13		onss 4730	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> B C_ On )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B C_ On )
15	11, 14	syl5ss 3319	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On )
16	2, 3, 4	cantnfs 7577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ ( `' G " ( _V \ 1o ) ) e. Fin ) ) )
17	7, 16	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ ( `' G " ( _V \ 1o ) ) e. Fin ) )
18	17	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' G " ( _V \ 1o ) ) e. Fin )
19	18	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( `' G " ( _V \ 1o ) ) e. Fin )
20		simp2 958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. B )
21		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
22	21	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
23		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` c ) e. _V
24		dif1o 6703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` c ) e. ( _V \ 1o ) <-> ( ( G ` c ) e. _V /\ ( G ` c ) =/= (/) ) )
25	23, 24	mpbiran 885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` c ) e. ( _V \ 1o ) <-> ( G ` c ) =/= (/) )
26	22, 25	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( G ` c ) e. ( _V \ 1o ) )
27	17	simpld 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : B --> A )
28	27	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> G : B --> A )
29		ffn 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B --> A -> G Fn B )
30		elpreima 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn B -> ( c e. ( `' G " ( _V \ 1o ) ) <-> ( c e. B /\ ( G ` c ) e. ( _V \ 1o ) ) ) )
31	28, 29, 30	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( c e. ( `' G " ( _V \ 1o ) ) <-> ( c e. B /\ ( G ` c ) e. ( _V \ 1o ) ) ) )
32	20, 26, 31	mpbir2and 889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. ( `' G " ( _V \ 1o ) ) )
33	32	rabssdv 3383	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( `' G " ( _V \ 1o ) ) )
34	33	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( `' G " ( _V \ 1o ) ) )
35		ssfi 7288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' G " ( _V \ 1o ) ) e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( `' G " ( _V \ 1o ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
36	19, 34, 35	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
37		simprl 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. B )
38		simprrl 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( G ` z ) )
39		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = z -> ( F ` c ) = ( F ` z ) )
40		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = z -> ( G ` c ) = ( G ` z ) )
41	39, 40	eleq12d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
42	41	elrab 3052	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( z e. B /\ ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
43	37, 38, 42	sylanbrc 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
44		ne0i 3594	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
46		ordunifi 7316	. . . . . . 7 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
47	15, 36, 45, 46	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
48	10, 47	syl5eqel 2488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
49		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
50		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( G ` x ) = ( G ` X ) )
51	49, 50	eleq12d 2472	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) e. ( G ` x ) <-> ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
52		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( F ` c ) = ( F ` x ) )
53		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( G ` c ) = ( G ` x ) )
54	52, 53	eleq12d 2472	. . . . . . 7 |- ( c = x -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` x ) e. ( G ` x ) ) )
55	54	cbvrabv 2915	. . . . . 6 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } = { x e. B | ( F ` x ) e. ( G ` x ) }
56	51, 55	elrab2 3054	. . . . 5 |- ( X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
57	48, 56	sylib 189	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
58	57	simpld 446	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. B )
59	57	simprd 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` X ) e. ( G ` X ) )
60		simprrr 742	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
61	3	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A e. On )
62	27	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G : B --> A )
63	62, 58	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. A )
64		onelon 4566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( G ` X ) e. A ) -> ( G ` X ) e. On )
65	61, 63, 64	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. On )
66		eloni 4551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` X ) e. On -> Ord ( G ` X ) )
67		ordirr 4559	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( G ` X ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
68	65, 66, 67	3syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
69		nelneq 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
70	59, 68, 69	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
71		eleq2 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( z e. w <-> z e. X ) )
72		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( F ` w ) = ( F ` X ) )
73		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( G ` w ) = ( G ` X ) )
74	72, 73	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( ( F ` w ) = ( G ` w ) <-> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
75	71, 74	imbi12d 312	. . . . . . . . . 10 |- ( w = X -> ( ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
76	75	rspccv 3009	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( X e. B -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
77	60, 58, 76	sylc 58	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
78	70, 77	mtod 170	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. z e. X )
79		ssexg 4309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B /\ B e. On ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
80	11, 12, 79	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
81		ssonuni 4726	. . . . . . . . . 10 |- ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On ) )
82	80, 15, 81	sylc 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On )
83	10, 82	syl5eqel 2488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. On )
84		onelon 4566	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z e. On )
85	12, 37, 84	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. On )
86		ontri1 4575	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. On /\ z e. On ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
87	83, 85, 86	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
88	78, 87	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X C_ z )
89		elssuni 4003	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
90	89, 10	syl6sseqr 3355	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ X )
91	43, 90	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z C_ X )
92	88, 91	eqssd 3325	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X = z )
93		eleq1 2464	. . . . . . 7 |- ( X = z -> ( X e. w <-> z e. w ) )
94	93	imbi1d 309	. . . . . 6 |- ( X = z -> ( ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
95	94	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( X = z -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
96	92, 95	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
97	60, 96	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
98	58, 59, 97	3jca 1134	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
99	9, 98	rexlimddv 2794	1 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   {copab 4225   Ord word 4540   Oncon0 4541   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   Fincfn 7068   CNF ccnf 7572

This theorem is referenced by:  cantnflem1a  7597  cantnflem1b  7598  cantnflem1c  7599  cantnflem1d  7600  cantnflem1  7601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

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