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Theorem oemapvali 7884
Description: If  F  <  G, then there is some  z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression  X that also witnesses  F  <  G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.r  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.x  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
Assertion
Ref Expression
oemapvali  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, c, x, y, z, B    A, c, w, x, y, z    T, c    w, F, x, y, z    S, c, x, y, z    G, c, w, x, y, z    ph, x, y, z    w, X, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    X( c)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3  |-  ( ph  ->  F T G )
2 cantnfs.s . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
3 cantnfs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
4 cantnfs.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
5 oemapval.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 oemapval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
7 oemapval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 7883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F T G  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) ) )
91, 8mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
10 ssrab2 3432 . . . 4  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B
11 oemapvali.x . . . . 5  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
124adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  e.  On )
13 onss 6397 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  C_  On )
1510, 14syl5ss 3362 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On )
162, 3, 4cantnfs 7866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  G finSupp 
(/) ) ) )
177, 16mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  G finSupp  (/) ) )
1817simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G finSupp  (/) )
1918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G finSupp 
(/) )
2043ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  B  e.  On )
21 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  B )
2217simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
23223ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  G : B
--> A )
24 ne0i 3638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c )  e.  ( G `  c )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
25243ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
26 fvn0elsupp 6701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  B )  /\  ( G : B
--> A  /\  ( G `
 c )  =/=  (/) ) )  ->  c  e.  ( G supp  (/) ) )
2720, 21, 23, 25, 26syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  ( G supp  (/) ) )
2827rabssdv 3427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) ) )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) ) )
30 fsuppimp 7618 . . . . . . . 8  |-  ( G finSupp  (/) 
->  ( Fun  G  /\  ( G supp  (/) )  e. 
Fin ) )
31 ssfi 7525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G supp  (/) )  e. 
Fin  /\  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
3231ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G supp  (/) )  e.  Fin  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin ) )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  ( G supp 
(/) )  e.  Fin )  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
)
3430, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G finSupp  (/) 
->  ( { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin ) )
3519, 29, 34sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
36 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
37 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ( G `
 z ) )
38 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  c )  =  ( F `  z ) )
39 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( G `  c )  =  ( G `  z ) )
4038, 39eleq12d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  z )  e.  ( G `  z ) ) )
4140elrab 3112 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  ( G `  z
) ) )
4236, 37, 41sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
43 ne0i 3638 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
45 ordunifi 7554 . . . . . 6  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  Fin  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  =/=  (/) )  ->  U. {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) } )
4615, 35, 44, 45syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
4711, 46syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) } )
4810, 47sseldi 3349 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
49 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
50 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
5149, 50eleq12d 2506 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  e.  ( G `
 x )  <->  ( F `  X )  e.  ( G `  X ) ) )
52 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( F `  c )  =  ( F `  x ) )
53 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  c )  =  ( G `  x ) )
5452, 53eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) ) )
5554cbvrabv 2966 . . . . . 6  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) }
5651, 55elrab2 3114 . . . . 5  |-  ( X  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  ( G `  X
) ) )
5747, 56sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) ) )
5857simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
59 simprrr 764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) )
603adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
6122adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G : B --> A )
6261, 48ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  A )
63 onelon 4739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
6460, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
65 eloni 4724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
66 ordirr 4732 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  -.  ( G `  X )  e.  ( G `  X
) )
6764, 65, 663syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
68 nelneq 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )  ->  -.  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
6958, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
70 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  X ) )
71 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( F `  w )  =  ( F `  X ) )
72 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( G `  w )  =  ( G `  X ) )
7371, 72eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  <->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) ) )
7470, 73imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <-> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) ) )
7574rspccv 3065 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  B  (
z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( z  e.  X  ->  ( F `
 X )  =  ( G `  X
) ) ) )
7659, 48, 75sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) )
7769, 76mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  z  e.  X
)
78 ssexg 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
7910, 12, 78sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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80 ssonuni 6393 . . . . . . . . . 10  |-  ( { c  e.  B  | 
( F `  c
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8179, 15, 80sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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( F `  w
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8211, 81syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( (
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( F `  z
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( F `  w
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( F `  w
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z  e.  On )
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
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( F `  w
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( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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U. { c  e.  B  |  ( F `
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z  C_  X )
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( X  e.  w  ->  ( F `  w
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( F `  w
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 w ) ) ) ) )  -> 
( A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
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9659, 95mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   (/)c0 3632   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   {copab 4344   Ord word 4713   Oncon0 4714   dom cdm 4835   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612   CNF ccnf 7859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-seqom 6895  df-1o 6912  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-cnf 7860
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  7885  cantnflem1b  7886  cantnflem1c  7887  cantnflem1d  7888  cantnflem1  7889  cantnflem1aOLD  7908  cantnflem1bOLD  7909  cantnflem1cOLD  7910  cantnflem1dOLD  7911  cantnflem1OLD  7912
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