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Theorem oemapvali 8135
Description: If  F  <  G, then there is some  z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression  X that also witnesses  F  <  G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.r  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.x  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
Assertion
Ref Expression
oemapvali  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, c, x, y, z, B    A, c, w, x, y, z    T, c    w, F, x, y, z    S, c, x, y, z    G, c, w, x, y, z    ph, x, y, z    w, X, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    X( c)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3  |-  ( ph  ->  F T G )
2 cantnfs.s . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
3 cantnfs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
4 cantnfs.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
5 oemapval.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 oemapval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
7 oemapval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F T G  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) ) )
91, 8mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
10 ssrab2 3524 . . . 4  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B
11 oemapvali.x . . . . 5  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
124adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  e.  On )
13 onss 6608 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  C_  On )
1510, 14syl5ss 3453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On )
162, 3, 4cantnfs 8117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  G finSupp 
(/) ) ) )
177, 16mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  G finSupp  (/) ) )
1817simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G finSupp  (/) )
1918adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G finSupp 
(/) )
2043ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  B  e.  On )
21 simp2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  B )
2217simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
23 ffn 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Fn  B )
25243ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  G  Fn  B )
26 ne0i 3744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c )  e.  ( G `  c )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
27263ad2ant3 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
28 fvn0elsupp 6918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  B )  /\  ( G  Fn  B  /\  ( G `  c )  =/=  (/) ) )  ->  c  e.  ( G supp  (/) ) )
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  ( G supp  (/) ) )
3029rabssdv 3519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) ) )
3130adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) ) )
32 fsuppimp 7869 . . . . . . . 8  |-  ( G finSupp  (/) 
->  ( Fun  G  /\  ( G supp  (/) )  e. 
Fin ) )
33 ssfi 7775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G supp  (/) )  e. 
Fin  /\  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
3433ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G supp  (/) )  e.  Fin  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin ) )
3534adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  ( G supp 
(/) )  e.  Fin )  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
)
3632, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( G finSupp  (/) 
->  ( { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin ) )
3719, 31, 36sylc 59 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
38 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
39 simprrl 766 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ( G `
 z ) )
40 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  c )  =  ( F `  z ) )
41 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( G `  c )  =  ( G `  z ) )
4240, 41eleq12d 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  z )  e.  ( G `  z ) ) )
4342elrab 3207 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  ( G `  z
) ) )
4438, 39, 43sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
45 ne0i 3744 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
4644, 45syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
47 ordunifi 7804 . . . . . 6  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  Fin  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  =/=  (/) )  ->  U. {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) } )
4815, 37, 46, 47syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
4911, 48syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) } )
5010, 49sseldi 3440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
51 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
52 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
5351, 52eleq12d 2484 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  e.  ( G `
 x )  <->  ( F `  X )  e.  ( G `  X ) ) )
54 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( F `  c )  =  ( F `  x ) )
55 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  c )  =  ( G `  x ) )
5654, 55eleq12d 2484 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) ) )
5756cbvrabv 3058 . . . . . 6  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) }
5853, 57elrab2 3209 . . . . 5  |-  ( X  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  ( G `  X
) ) )
5949, 58sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) ) )
6059simprd 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
61 simprrr 767 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) )
623adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
6322adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G : B --> A )
6463, 50ffvelrnd 6010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  A )
65 onelon 5435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
6662, 64, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
67 eloni 5420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
68 ordirr 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  -.  ( G `  X )  e.  ( G `  X
) )
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
70 nelneq 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )  ->  -.  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
7160, 69, 70syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
72 eleq2 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  X ) )
73 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( F `  w )  =  ( F `  X ) )
74 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( G `  w )  =  ( G `  X ) )
7573, 74eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  <->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) ) )
7672, 75imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <-> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) ) )
7776rspccv 3157 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  B  (
z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( z  e.  X  ->  ( F `
 X )  =  ( G `  X
) ) ) )
7861, 50, 77sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) )
7971, 78mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  z  e.  X
)
80 ssexg 4540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
8110, 12, 80sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
82 ssonuni 6604 . . . . . . . . . 10  |-  ( { c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  _V  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On ) )
8381, 15, 82sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On )
8411, 83syl5eqel 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  On )
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( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  On )
87 ontri1 5444 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
8884, 86, 87syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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 w ) ) ) ) )  -> 
( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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90 elssuni 4220 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
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U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
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z  C_  X )
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( X  e.  w  ->  ( F `  w
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9793, 96syl 17 . . . 4  |-  ( (
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( F `  w
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 w ) ) ) ) )  -> 
( A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
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9861, 97mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
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1009, 99rexlimddv 2900 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
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 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   (/)c0 3738   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   {copab 4452   dom cdm 4823   Ord word 5409   Oncon0 5410   Fun wfun 5563    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   supp csupp 6902   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   CNF ccnf 8110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-cnf 8111
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8136  cantnflem1b  8137  cantnflem1c  8138  cantnflem1d  8139  cantnflem1  8140  cantnflem1aOLD  8159  cantnflem1bOLD  8160  cantnflem1cOLD  8161  cantnflem1dOLD  8162  cantnflem1OLD  8163
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