Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Unicode version

Theorem oemapvali 7596
 Description: If , then there is some witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression that also witnesses . (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.1 CNF
cantnfs.2
cantnfs.3
oemapval.t
oemapval.3
oemapval.4
oemapvali.5
oemapvali.6
Assertion
Ref Expression
oemapvali
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   ()

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.5 . . 3
2 cantnfs.1 . . . 4 CNF
3 cantnfs.2 . . . 4
4 cantnfs.3 . . . 4
5 oemapval.t . . . 4
6 oemapval.3 . . . 4
7 oemapval.4 . . . 4
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 7595 . . 3
91, 8mpbid 202 . 2
10 oemapvali.6 . . . . . 6
11 ssrab2 3388 . . . . . . . 8
124adantr 452 . . . . . . . . 9
13 onss 4730 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
1511, 14syl5ss 3319 . . . . . . 7
162, 3, 4cantnfs 7577 . . . . . . . . . . 11
177, 16mpbid 202 . . . . . . . . . 10
1817simprd 450 . . . . . . . . 9
1918adantr 452 . . . . . . . 8
20 simp2 958 . . . . . . . . . . 11
21 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . 13
22213ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12
23 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13
24 dif1o 6703 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24mpbiran 885 . . . . . . . . . . . 12
2622, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
2717simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13
28273ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12
29 ffn 5550 . . . . . . . . . . . 12
30 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . 12
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . 11
3220, 26, 31mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10
3332rabssdv 3383 . . . . . . . . 9
3433adantr 452 . . . . . . . 8
35 ssfi 7288 . . . . . . . 8
3619, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . 7
37 simprl 733 . . . . . . . . 9
38 simprrl 741 . . . . . . . . 9
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
40 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
4139, 40eleq12d 2472 . . . . . . . . . 10
4241elrab 3052 . . . . . . . . 9
4337, 38, 42sylanbrc 646 . . . . . . . 8
44 ne0i 3594 . . . . . . . 8
4543, 44syl 16 . . . . . . 7
46 ordunifi 7316 . . . . . . 7
4715, 36, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . 6
4810, 47syl5eqel 2488 . . . . 5
49 fveq2 5687 . . . . . . 7
50 fveq2 5687 . . . . . . 7
5149, 50eleq12d 2472 . . . . . 6
52 fveq2 5687 . . . . . . . 8
53 fveq2 5687 . . . . . . . 8
5452, 53eleq12d 2472 . . . . . . 7
5554cbvrabv 2915 . . . . . 6
5651, 55elrab2 3054 . . . . 5
5748, 56sylib 189 . . . 4
5857simpld 446 . . 3
5957simprd 450 . . 3
60 simprrr 742 . . . 4
613adantr 452 . . . . . . . . . . 11
6227adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
6362, 58ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . 11
64 onelon 4566 . . . . . . . . . . 11
6561, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
66 eloni 4551 . . . . . . . . . 10
67 ordirr 4559 . . . . . . . . . 10
6865, 66, 673syl 19 . . . . . . . . 9
69 nelneq 2502 . . . . . . . . 9
7059, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . 8
71 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11
72 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11
7571, 74imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
7675rspccv 3009 . . . . . . . . 9
7760, 58, 76sylc 58 . . . . . . . 8
7870, 77mtod 170 . . . . . . 7
79 ssexg 4309 . . . . . . . . . . 11
8011, 12, 79sylancr 645 . . . . . . . . . 10
81 ssonuni 4726 . . . . . . . . . 10
8280, 15, 81sylc 58 . . . . . . . . 9
8310, 82syl5eqel 2488 . . . . . . . 8
84 onelon 4566 . . . . . . . . 9
8512, 37, 84syl2anc 643 . . . . . . . 8
86 ontri1 4575 . . . . . . . 8
8783, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . 7
8878, 87mpbird 224 . . . . . 6
89 elssuni 4003 . . . . . . . 8
9089, 10syl6sseqr 3355 . . . . . . 7
9143, 90syl 16 . . . . . 6
9288, 91eqssd 3325 . . . . 5
93 eleq1 2464 . . . . . . 7
9493imbi1d 309 . . . . . 6
9594ralbidv 2686 . . . . 5
9692, 95syl 16 . . . 4
9760, 96mpbird 224 . . 3
9858, 59, 973jca 1134 . 2
999, 98rexlimddv 2794 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277   wss 3280  c0 3588  cuni 3975   class class class wbr 4172  copab 4225   word 4540  con0 4541  ccnv 4836   cdm 4837  cima 4840   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  c1o 6676  cfn 7068   CNF ccnf 7572 This theorem is referenced by:  cantnflem1a  7597  cantnflem1b  7598  cantnflem1c  7599  cantnflem1d  7600  cantnflem1  7601 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-oi 7435  df-cnf 7573
 Copyright terms: Public domain W3C validator