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Theorem oemapvali 8136
Description: If  F  <  G, then there is some  z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression  X that also witnesses  F  <  G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
cantnfs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cantnfs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
oemapval.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
oemapval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
oemapval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
oemapvali.r  |-  ( ph  ->  F T G )
oemapvali.x  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
Assertion
Ref Expression
oemapvali  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  A. w  e.  B  ( X  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, c, x, y, z, B    A, c, w, x, y, z    T, c    w, F, x, y, z    S, c, x, y, z    G, c, w, x, y, z    ph, x, y, z    w, X, x, y, z    F, c    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)    T( x, y, z, w)    X( c)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3  |-  ( ph  ->  F T G )
2 cantnfs.s . . . 4  |-  S  =  dom  ( A CNF  B
)
3 cantnfs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
4 cantnfs.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
5 oemapval.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  B  ( (
x `  z )  e.  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }
6 oemapval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
7 oemapval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8135 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F T G  <->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) ) )
91, 8mpbid 213 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( ( F `  z )  e.  ( G `  z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) ) )
10 ssrab2 3484 . . . 4  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B
11 oemapvali.x . . . . 5  |-  X  = 
U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }
124adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  e.  On )
13 onss 6570 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  B  C_  On )
1510, 14syl5ss 3413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On )
162, 3, 4cantnfs 8118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  S  <->  ( G : B --> A  /\  G finSupp 
(/) ) ) )
177, 16mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G : B --> A  /\  G finSupp  (/) ) )
1817simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G finSupp  (/) )
1918adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G finSupp 
(/) )
2043ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  B  e.  On )
21 simp2 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  B )
2217simpld 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
23 ffn 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B --> A  ->  G  Fn  B )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Fn  B )
25243ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  G  Fn  B )
26 ne0i 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c )  e.  ( G `  c )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
27263ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  ( G `  c )  =/=  (/) )
28 fvn0elsupp 6880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  B )  /\  ( G  Fn  B  /\  ( G `  c )  =/=  (/) ) )  ->  c  e.  ( G supp  (/) ) )
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  B  /\  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) )  ->  c  e.  ( G supp  (/) ) )
3029rabssdv 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) ) )
3130adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) ) )
32 fsuppimp 7837 . . . . . . . 8  |-  ( G finSupp  (/) 
->  ( Fun  G  /\  ( G supp  (/) )  e. 
Fin ) )
33 ssfi 7740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G supp  (/) )  e. 
Fin  /\  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
3433ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G supp  (/) )  e.  Fin  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin ) )
3534adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  ( G supp 
(/) )  e.  Fin )  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  ( G supp  (/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
)
3632, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( G finSupp  (/) 
->  ( { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  C_  ( G supp 
(/) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin ) )
3719, 31, 36sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  Fin )
38 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
39 simprrl 772 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ( G `
 z ) )
40 fveq2 5820 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  c )  =  ( F `  z ) )
41 fveq2 5820 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  ( G `  c )  =  ( G `  z ) )
4240, 41eleq12d 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  z )  e.  ( G `  z ) ) )
4342elrab 3166 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  ( G `  z
) ) )
4438, 39, 43sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
45 ne0i 3705 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
4644, 45syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =/=  (/) )
47 ordunifi 7769 . . . . . 6  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  Fin  /\  {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  =/=  (/) )  ->  U. {
c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) } )
4815, 37, 46, 47syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) } )
4911, 48syl5eqel 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c
) } )
5010, 49sseldi 3400 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  B )
51 fveq2 5820 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
52 fveq2 5820 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  x )  =  ( G `  X ) )
5351, 52eleq12d 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  e.  ( G `
 x )  <->  ( F `  X )  e.  ( G `  X ) ) )
54 fveq2 5820 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( F `  c )  =  ( F `  x ) )
55 fveq2 5820 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  c )  =  ( G `  x ) )
5654, 55eleq12d 2495 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  c
)  e.  ( G `
 c )  <->  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) ) )
5756cbvrabv 3016 . . . . . 6  |-  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  =  { x  e.  B  |  ( F `  x )  e.  ( G `  x ) }
5853, 57elrab2 3168 . . . . 5  |-  ( X  e.  { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
) }  <->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  ( G `  X
) ) )
5949, 58sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) ) )
6059simprd 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
61 simprrr 773 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) )
623adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
6322adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  G : B --> A )
6463, 50ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  A )
65 onelon 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  X )  e.  A )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
6662, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( G `  X
)  e.  On )
67 eloni 5390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  X )  e.  On  ->  Ord  ( G `  X ) )
68 ordirr 5398 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( G `  X
)  ->  -.  ( G `  X )  e.  ( G `  X
) )
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )
70 nelneq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ( G `
 X )  /\  -.  ( G `  X
)  e.  ( G `
 X ) )  ->  -.  ( F `  X )  =  ( G `  X ) )
7160, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) )
72 eleq2 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  X ) )
73 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( F `  w )  =  ( F `  X ) )
74 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  ( G `  w )  =  ( G `  X ) )
7573, 74eqeq12d 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( F `  w
)  =  ( G `
 w )  <->  ( F `  X )  =  ( G `  X ) ) )
7672, 75imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  e.  w  ->  ( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  <-> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) ) )
7776rspccv 3117 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  B  (
z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( z  e.  X  ->  ( F `
 X )  =  ( G `  X
) ) ) )
7861, 50, 77sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( F `  X
)  =  ( G `
 X ) ) )
7971, 78mtod 180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  -.  z  e.  X
)
80 ssexg 4508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  B  /\  B  e.  On )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
8110, 12, 80sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  _V )
82 ssonuni 6566 . . . . . . . . . 10  |-  ( { c  e.  B  | 
( F `  c
)  e.  ( G `
 c ) }  e.  _V  ->  ( { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  C_  On  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On ) )
8381, 15, 82sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  ->  U. { c  e.  B  |  ( F `  c )  e.  ( G `  c ) }  e.  On )
8411, 83syl5eqel 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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 w ) ) ) ) )  ->  X  e.  On )
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
)  e.  ( G `
 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 w ) ) ) ) )  -> 
z  e.  On )
87 ontri1 5414 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
8884, 86, 87syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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 w ) ) ) ) )  -> 
( X  C_  z  <->  -.  z  e.  X ) )
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
( F `  z
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 z )  /\  A. w  e.  B  ( z  e.  w  -> 
( F `  w
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U. { c  e.  B  |  ( F `
 c )  e.  ( G `  c
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z  C_  X )
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( X  e.  w  ->  ( F `  w
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( F `  w
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 w ) ) ) ) )  -> 
( A. w  e.  B  ( X  e.  w  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )  <->  A. w  e.  B  ( z  e.  w  ->  ( F `  w
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9861, 97mpbird 235 . . 3  |-  ( (
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ph  /\  ( z  e.  B  /\  (
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1009, 99rexlimddv 2855 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( F `  X
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   _Vcvv 3017    C_ wss 3374   (/)c0 3699   U.cuni 4157   class class class wbr 4361   {copab 4419   dom cdm 4791   Ord word 5379   Oncon0 5380   Fun wfun 5533    Fn wfn 5534   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   supp csupp 6864   Fincfn 7519   finSupp cfsupp 7831   CNF ccnf 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-cnf 8114
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8137  cantnflem1b  8138  cantnflem1c  8139  cantnflem1d  8140  cantnflem1  8141
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