Theorem oemapvali 8135

Description: If F < G, then there is some z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression X that also witnesses F < G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
oemapval.f	|- ( ph -> F e. S )
oemapval.g	|- ( ph -> G e. S )
oemapvali.r	|- ( ph -> F T G )
oemapvali.x	|- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }

Assertion

Ref	Expression
oemapvali	|- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, c, x, y, z, B   A, c, w, x, y, z   T, c   w, F, x, y, z   S, c, x, y, z   G, c, w, x, y, z   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   F, c   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)   X( c)

Proof of Theorem oemapvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oemapvali.r	. . 3 |- ( ph -> F T G )
2		cantnfs.s	. . . 4 |- S = dom ( A CNF B )
3		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
4		cantnfs.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. On )
5		oemapval.t	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
6		oemapval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. S )
7		oemapval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	oemapval 8134	. . 3 |- ( ph -> ( F T G <-> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
10		ssrab2 3524	. . . 4 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B
11		oemapvali.x	. . . . 5 |- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
12	4	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B e. On )
13		onss 6608	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> B C_ On )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B C_ On )
15	10, 14	syl5ss 3453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On )
16	2, 3, 4	cantnfs 8117	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) ) )
17	7, 16	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) )
18	17	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G finSupp (/) )
19	18	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G finSupp (/) )
20	4	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> B e. On )
21		simp2 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. B )
22	17	simpld 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G : B --> A )
23		ffn 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B --> A -> G Fn B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G Fn B )
25	24	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> G Fn B )
26		ne0i 3744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
27	26	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
28		fvn0elsupp 6918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ c e. B ) /\ ( G Fn B /\ ( G ` c ) =/= (/) ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
29	20, 21, 25, 27, 28	syl22anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
30	29	rabssdv 3519	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
32		fsuppimp 7869	. . . . . . . 8 |- ( G finSupp (/) -> ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) )
33		ssfi 7775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G supp (/) ) e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
34	33	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( G supp (/) ) e. Fin -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
35	34	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
36	32, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( G finSupp (/) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
37	19, 31, 36	sylc 59	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
38		simprl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. B )
39		simprrl 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( G ` z ) )
40		fveq2 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( F ` c ) = ( F ` z ) )
41		fveq2 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( G ` c ) = ( G ` z ) )
42	40, 41	eleq12d 2484	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
43	42	elrab 3207	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( z e. B /\ ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
44	38, 39, 43	sylanbrc 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
45		ne0i 3744	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
47		ordunifi 7804	. . . . . 6 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
48	15, 37, 46, 47	syl3anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
49	11, 48	syl5eqel 2494	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
50	10, 49	sseldi 3440	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. B )
51		fveq2 5849	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
52		fveq2 5849	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( G ` x ) = ( G ` X ) )
53	51, 52	eleq12d 2484	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) e. ( G ` x ) <-> ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
54		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( F ` c ) = ( F ` x ) )
55		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( G ` c ) = ( G ` x ) )
56	54, 55	eleq12d 2484	. . . . . . 7 |- ( c = x -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` x ) e. ( G ` x ) ) )
57	56	cbvrabv 3058	. . . . . 6 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } = { x e. B | ( F ` x ) e. ( G ` x ) }
58	53, 57	elrab2 3209	. . . . 5 |- ( X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
59	49, 58	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
60	59	simprd 461	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` X ) e. ( G ` X ) )
61		simprrr 767	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
62	3	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A e. On )
63	22	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G : B --> A )
64	63, 50	ffvelrnd 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. A )
65		onelon 5435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( G ` X ) e. A ) -> ( G ` X ) e. On )
66	62, 64, 65	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. On )
67		eloni 5420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` X ) e. On -> Ord ( G ` X ) )
68		ordirr 5428	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( G ` X ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
69	66, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
70		nelneq 2519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
71	60, 69, 70	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
72		eleq2 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( z e. w <-> z e. X ) )
73		fveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( F ` w ) = ( F ` X ) )
74		fveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( G ` w ) = ( G ` X ) )
75	73, 74	eqeq12d 2424	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( ( F ` w ) = ( G ` w ) <-> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
76	72, 75	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( w = X -> ( ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
77	76	rspccv 3157	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( X e. B -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
78	61, 50, 77	sylc 59	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
79	71, 78	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. z e. X )
80		ssexg 4540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B /\ B e. On ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
81	10, 12, 80	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
82		ssonuni 6604	. . . . . . . . . 10 |- ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On ) )
83	81, 15, 82	sylc 59	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On )
84	11, 83	syl5eqel 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. On )
85		onelon 5435	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z e. On )
86	12, 38, 85	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. On )
87		ontri1 5444	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. On /\ z e. On ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
88	84, 86, 87	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
89	79, 88	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X C_ z )
90		elssuni 4220	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
91	90, 11	syl6sseqr 3489	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ X )
92	44, 91	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z C_ X )
93	89, 92	eqssd 3459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X = z )
94		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( X = z -> ( X e. w <-> z e. w ) )
95	94	imbi1d 315	. . . . . 6 |- ( X = z -> ( ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
96	95	ralbidv 2843	. . . . 5 |- ( X = z -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
97	93, 96	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
98	61, 97	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
99	50, 60, 98	3jca 1177	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
100	9, 99	rexlimddv 2900	1 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059   C_ wss 3414   (/)c0 3738   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   {copab 4452   dom cdm 4823   Ord word 5409   Oncon0 5410   Fun wfun 5563   Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   supp csupp 6902   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   CNF ccnf 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-cnf 8111

This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8136  cantnflem1b  8137  cantnflem1c  8138  cantnflem1d  8139  cantnflem1  8140  cantnflem1aOLD  8159  cantnflem1bOLD  8160  cantnflem1cOLD  8161  cantnflem1dOLD  8162  cantnflem1OLD  8163