Theorem oemapvali 7884

Description: If F < G, then there is some z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression X that also witnesses F < G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
oemapval.f	|- ( ph -> F e. S )
oemapval.g	|- ( ph -> G e. S )
oemapvali.r	|- ( ph -> F T G )
oemapvali.x	|- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }

Assertion

Ref	Expression
oemapvali	|- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, c, x, y, z, B   A, c, w, x, y, z   T, c   w, F, x, y, z   S, c, x, y, z   G, c, w, x, y, z   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   F, c   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)   X( c)

Proof of Theorem oemapvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oemapvali.r	. . 3 |- ( ph -> F T G )
2		cantnfs.s	. . . 4 |- S = dom ( A CNF B )
3		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
4		cantnfs.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. On )
5		oemapval.t	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
6		oemapval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. S )
7		oemapval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	oemapval 7883	. . 3 |- ( ph -> ( F T G <-> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
10		ssrab2 3432	. . . 4 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B
11		oemapvali.x	. . . . 5 |- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
12	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B e. On )
13		onss 6397	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> B C_ On )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B C_ On )
15	10, 14	syl5ss 3362	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On )
16	2, 3, 4	cantnfs 7866	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) ) )
17	7, 16	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) )
18	17	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G finSupp (/) )
19	18	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G finSupp (/) )
20	4	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> B e. On )
21		simp2 989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. B )
22	17	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : B --> A )
23	22	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> G : B --> A )
24		ne0i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
25	24	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
26		fvn0elsupp 6701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ c e. B ) /\ ( G : B --> A /\ ( G ` c ) =/= (/) ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
27	20, 21, 23, 25, 26	syl22anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
28	27	rabssdv 3427	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
30		fsuppimp 7618	. . . . . . . 8 |- ( G finSupp (/) -> ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) )
31		ssfi 7525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G supp (/) ) e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
32	31	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( G supp (/) ) e. Fin -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
33	32	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . 7 |- ( G finSupp (/) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
35	19, 29, 34	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
36		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. B )
37		simprrl 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( G ` z ) )
38		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( F ` c ) = ( F ` z ) )
39		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( G ` c ) = ( G ` z ) )
40	38, 39	eleq12d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
41	40	elrab 3112	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( z e. B /\ ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
42	36, 37, 41	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
43		ne0i 3638	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
45		ordunifi 7554	. . . . . 6 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
46	15, 35, 44, 45	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
47	11, 46	syl5eqel 2522	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
48	10, 47	sseldi 3349	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. B )
49		fveq2 5686	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
50		fveq2 5686	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( G ` x ) = ( G ` X ) )
51	49, 50	eleq12d 2506	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) e. ( G ` x ) <-> ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
52		fveq2 5686	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( F ` c ) = ( F ` x ) )
53		fveq2 5686	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( G ` c ) = ( G ` x ) )
54	52, 53	eleq12d 2506	. . . . . . 7 |- ( c = x -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` x ) e. ( G ` x ) ) )
55	54	cbvrabv 2966	. . . . . 6 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } = { x e. B | ( F ` x ) e. ( G ` x ) }
56	51, 55	elrab2 3114	. . . . 5 |- ( X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
57	47, 56	sylib 196	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
58	57	simprd 463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` X ) e. ( G ` X ) )
59		simprrr 764	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
60	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A e. On )
61	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G : B --> A )
62	61, 48	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. A )
63		onelon 4739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( G ` X ) e. A ) -> ( G ` X ) e. On )
64	60, 62, 63	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. On )
65		eloni 4724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` X ) e. On -> Ord ( G ` X ) )
66		ordirr 4732	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( G ` X ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
67	64, 65, 66	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
68		nelneq 2536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
69	58, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
70		eleq2 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( z e. w <-> z e. X ) )
71		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( F ` w ) = ( F ` X ) )
72		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( G ` w ) = ( G ` X ) )
73	71, 72	eqeq12d 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( ( F ` w ) = ( G ` w ) <-> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
74	70, 73	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( w = X -> ( ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
75	74	rspccv 3065	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( X e. B -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
76	59, 48, 75	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
77	69, 76	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. z e. X )
78		ssexg 4433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B /\ B e. On ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
79	10, 12, 78	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
80		ssonuni 6393	. . . . . . . . . 10 |- ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On ) )
81	79, 15, 80	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On )
82	11, 81	syl5eqel 2522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. On )
83		onelon 4739	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z e. On )
84	12, 36, 83	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. On )
85		ontri1 4748	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. On /\ z e. On ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
86	82, 84, 85	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
87	77, 86	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X C_ z )
88		elssuni 4116	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
89	88, 11	syl6sseqr 3398	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ X )
90	42, 89	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z C_ X )
91	87, 90	eqssd 3368	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X = z )
92		eleq1 2498	. . . . . . 7 |- ( X = z -> ( X e. w <-> z e. w ) )
93	92	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( X = z -> ( ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
94	93	ralbidv 2730	. . . . 5 |- ( X = z -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
95	91, 94	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
96	59, 95	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
97	48, 58, 96	3jca 1168	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
98	9, 97	rexlimddv 2840	1 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   (/)c0 3632   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   {copab 4344   Ord word 4713   Oncon0 4714   dom cdm 4835   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612   CNF ccnf 7859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-seqom 6895  df-1o 6912  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-cnf 7860

This theorem is referenced by:  cantnflem1a  7885  cantnflem1b  7886  cantnflem1c  7887  cantnflem1d  7888  cantnflem1  7889  cantnflem1aOLD  7908  cantnflem1bOLD  7909  cantnflem1cOLD  7910  cantnflem1dOLD  7911  cantnflem1OLD  7912