Theorem oemapvali 8136

Description: If F < G, then there is some z witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression X that also witnesses F < G. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	|- S = dom ( A CNF B )
cantnfs.a	|- ( ph -> A e. On )
cantnfs.b	|- ( ph -> B e. On )
oemapval.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
oemapval.f	|- ( ph -> F e. S )
oemapval.g	|- ( ph -> G e. S )
oemapvali.r	|- ( ph -> F T G )
oemapvali.x	|- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }

Assertion

Ref	Expression
oemapvali	|- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, c, x, y, z, B   A, c, w, x, y, z   T, c   w, F, x, y, z   S, c, x, y, z   G, c, w, x, y, z   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   F, c   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)   T( x, y, z, w)   X( c)

Proof of Theorem oemapvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oemapvali.r	. . 3 |- ( ph -> F T G )
2		cantnfs.s	. . . 4 |- S = dom ( A CNF B )
3		cantnfs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
4		cantnfs.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. On )
5		oemapval.t	. . . 4 |- T = { <. x , y >. | E. z e. B ( ( x ` z ) e. ( y ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
6		oemapval.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. S )
7		oemapval.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. S )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	oemapval 8135	. . 3 |- ( ph -> ( F T G <-> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 213	. 2 |- ( ph -> E. z e. B ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
10		ssrab2 3484	. . . 4 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B
11		oemapvali.x	. . . . 5 |- X = U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) }
12	4	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B e. On )
13		onss 6570	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> B C_ On )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> B C_ On )
15	10, 14	syl5ss 3413	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On )
16	2, 3, 4	cantnfs 8118	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G e. S <-> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) ) )
17	7, 16	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G : B --> A /\ G finSupp (/) ) )
18	17	simprd 464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G finSupp (/) )
19	18	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G finSupp (/) )
20	4	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> B e. On )
21		simp2 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. B )
22	17	simpld 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G : B --> A )
23		ffn 5684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B --> A -> G Fn B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G Fn B )
25	24	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> G Fn B )
26		ne0i 3705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
27	26	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> ( G ` c ) =/= (/) )
28		fvn0elsupp 6880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ c e. B ) /\ ( G Fn B /\ ( G ` c ) =/= (/) ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
29	20, 21, 25, 27, 28	syl22anc 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. B /\ ( F ` c ) e. ( G ` c ) ) -> c e. ( G supp (/) ) )
30	29	rabssdv 3479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
31	30	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) )
32		fsuppimp 7837	. . . . . . . 8 |- ( G finSupp (/) -> ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) )
33		ssfi 7740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G supp (/) ) e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
34	33	ex 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( G supp (/) ) e. Fin -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
35	34	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ ( G supp (/) ) e. Fin ) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
36	32, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( G finSupp (/) -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ ( G supp (/) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin ) )
37	19, 31, 36	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin )
38		simprl 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. B )
39		simprrl 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( G ` z ) )
40		fveq2 5820	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( F ` c ) = ( F ` z ) )
41		fveq2 5820	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( G ` c ) = ( G ` z ) )
42	40, 41	eleq12d 2495	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
43	42	elrab 3166	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( z e. B /\ ( F ` z ) e. ( G ` z ) ) )
44	38, 39, 43	sylanbrc 668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
45		ne0i 3705	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) )
47		ordunifi 7769	. . . . . 6 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. Fin /\ { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } =/= (/) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
48	15, 37, 46, 47	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
49	11, 48	syl5eqel 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
50	10, 49	sseldi 3400	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. B )
51		fveq2 5820	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
52		fveq2 5820	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( G ` x ) = ( G ` X ) )
53	51, 52	eleq12d 2495	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) e. ( G ` x ) <-> ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
54		fveq2 5820	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( F ` c ) = ( F ` x ) )
55		fveq2 5820	. . . . . . . 8 |- ( c = x -> ( G ` c ) = ( G ` x ) )
56	54, 55	eleq12d 2495	. . . . . . 7 |- ( c = x -> ( ( F ` c ) e. ( G ` c ) <-> ( F ` x ) e. ( G ` x ) ) )
57	56	cbvrabv 3016	. . . . . 6 |- { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } = { x e. B | ( F ` x ) e. ( G ` x ) }
58	53, 57	elrab2 3168	. . . . 5 |- ( X e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } <-> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
59	49, 58	sylib 199	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) ) )
60	59	simprd 464	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( F ` X ) e. ( G ` X ) )
61		simprrr 773	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
62	3	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A e. On )
63	22	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> G : B --> A )
64	63, 50	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. A )
65		onelon 5405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( G ` X ) e. A ) -> ( G ` X ) e. On )
66	62, 64, 65	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( G ` X ) e. On )
67		eloni 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` X ) e. On -> Ord ( G ` X ) )
68		ordirr 5398	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( G ` X ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
69	66, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) )
70		nelneq 2525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ -. ( G ` X ) e. ( G ` X ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
71	60, 69, 70	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. ( F ` X ) = ( G ` X ) )
72		eleq2 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( z e. w <-> z e. X ) )
73		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( F ` w ) = ( F ` X ) )
74		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = X -> ( G ` w ) = ( G ` X ) )
75	73, 74	eqeq12d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = X -> ( ( F ` w ) = ( G ` w ) <-> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
76	72, 75	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( w = X -> ( ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
77	76	rspccv 3117	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) -> ( X e. B -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) ) )
78	61, 50, 77	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( z e. X -> ( F ` X ) = ( G ` X ) ) )
79	71, 78	mtod 180	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> -. z e. X )
80		ssexg 4508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ B /\ B e. On ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
81	10, 12, 80	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V )
82		ssonuni 6566	. . . . . . . . . 10 |- ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. _V -> ( { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } C_ On -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On ) )
83	81, 15, 82	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } e. On )
84	11, 83	syl5eqel 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X e. On )
85		onelon 5405	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z e. On )
86	12, 38, 85	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z e. On )
87		ontri1 5414	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. On /\ z e. On ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
88	84, 86, 87	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X C_ z <-> -. z e. X ) )
89	79, 88	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X C_ z )
90		elssuni 4186	. . . . . . . 8 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ U. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } )
91	90, 11	syl6sseqr 3449	. . . . . . 7 |- ( z e. { c e. B | ( F ` c ) e. ( G ` c ) } -> z C_ X )
92	44, 91	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> z C_ X )
93	89, 92	eqssd 3419	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> X = z )
94		eleq1 2489	. . . . . . 7 |- ( X = z -> ( X e. w <-> z e. w ) )
95	94	imbi1d 318	. . . . . 6 |- ( X = z -> ( ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
96	95	ralbidv 2799	. . . . 5 |- ( X = z -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
97	93, 96	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) <-> A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
98	61, 97	mpbird 235	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
99	50, 60, 98	3jca 1185	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( ( F ` z ) e. ( G ` z ) /\ A. w e. B ( z e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) ) ) -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )
100	9, 99	rexlimddv 2855	1 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( F ` X ) e. ( G ` X ) /\ A. w e. B ( X e. w -> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   _Vcvv 3017   C_ wss 3374   (/)c0 3699   U.cuni 4157   class class class wbr 4361   {copab 4419   dom cdm 4791   Ord word 5379   Oncon0 5380   Fun wfun 5533   Fn wfn 5534   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   supp csupp 6864   Fincfn 7519   finSupp cfsupp 7831   CNF ccnf 8113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-supp 6865  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-fin 7523  df-fsupp 7832  df-cnf 8114

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